某数学兴趣小组对对角线互相垂直的四边形进行了探究，得出了如下结论：
如图1，若四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，则四边形的四条边长满足AB2+CD2=AD2+BC2．
（1）简单应用：如图1，四边形ABCD中，AC⊥BD，AB=3，AD=1，CD=2，则边BC的长为 2323；
（2）发现应用：如图2，若AF，BE分别是△ABC中BC，AC边上的中线．且AF⊥BE垂足为P，求证：AC2+BC2=5AB2；
（3）拓展应用：如图3，▱ABCD中，点E、F、G分别是AD，BC，CD的中点．若BE⊥EG，AD=25，AB=3．求线段AF的长．
3
3
AD
=
2
5
【考点】四边形综合题．
【答案】2
3
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：266引用：1难度：0.5
相似题
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1．如图1，正方形ABCD中，AC为对角线，点P在线段AC上运动，以DP为边向右作正方形DPFE，连接CE；
【初步探究】
（1）则AP与CE的数量关系是 ，AP与CE的夹角度数为 ；
【探索发现】
（2）点P在线段AC及其延长线上运动时，如图1，图2，探究线段DC，PC和CE三者之间的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）点P在对角线AC的延长线上时，如图3，连接AE，若AB=，AE=22，求四边形DCPE的面积．213
发布：2025/5/26 8:0:5组卷：2163引用：9难度：0.3 -
2．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，动点P从点A出发，沿折线AC-CB运动，在AC上以每秒5个单位的速度运动，在CB上以每秒4个单位的速度向终点B运动，当点P不与矩形ABCD的顶点重合时，过点P作边AD的垂线，垂足为M，当点P在AC上时，将PM绕点P逆时针旋转90°得到PN；当点P在CB上时，将PM绕点P顺时针旋转90°得到PN，连结MN得△PMN，设点P的运动时间为t（s）．
（1）矩形对角线AC的长为 ．
（2）求线段PM的长．
（3）当矩形ABCD的对称中心落在边MN上时，求t的值及△PMN与△ABC重叠部分图形的面积S的值．
（4）设过MN中点的直线m,当m平分矩形ABCD的面积且与矩形ABCD的边平行时，直接写出t的取值范围．发布：2025/5/26 10:0:1组卷：293引用：2难度：0.3 -
3．阅读与思考
平移是初中几何变换之一，它可以将线段和角平移到一个新的位置，从而把分散的条件集中到一起，使问题得以解决．平移包括以下三个方面的应用：一、分散的条件集中；二、复杂图形变得简单明了；三、转化题目的形式．以下面例题来说明．
如图1，在正方形中ABCD中，E，F，G分别是BC，CD，AD上的点，GE⊥BF于点O，那么GE=BF．
证明过程如下：
∵GE⊥BF于点O，
∴∠GOB=90°，
过点A作AH∥GE交BC于点H，交BF于点M．
∴∠AMB=∠GOB=90°，
∴∠ABM+∠BAM=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AG∥HE，AB=BC，∠ABC=∠C=90°，
∴∠ABM+∠FBC=∠ABC=90°，
∴∠BAM=∠FBC，
∴△ABH≌△BCF（依据1），
∴AH=BF，
∵AH∥GE，AG∥HE，
∴四边形AHEG为平行四边形（依据2），
∴AH=GE，
∴GE=BF．
【阅读理解】填空：上述阅读材料中“依据1”是 ，“依据2”是 ．
【迁移尝试】如图2，在5×6的正方形网格中，点A，B，C，D为格点，AB交CD于点M．则∠AMC的度数为 ；
【拓展应用】如图3，点P是线段AB上的动点，分别以AP，BP为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形PBEF，连接DE分别交线段BC，PC于点M，N．求∠DMC的度数．
发布：2025/5/26 9:0:1组卷：217引用：2难度：0.3
