综合与探究
如图，二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴分别交于点A（-2，0），B（4，0），点E是x轴正半轴上的一个动点，过点E作直线PE⊥x轴，交抛物线于点P，交直线BC于点F．
（1）求二次函数的表达式．
（2）当点E在线段OB上运动时（不与点O，B重合），恰有线段PF=12EF，求此时点P的坐标．
（3）试探究：若点Q是y轴上一点，在点E运动过程中，是否存在点Q，使得以点C，F，P，Q为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
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【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）y=-x2+x+4；
（2）（1，）；
（3）存在，（0，4）或（0，-4）或（0，2）．
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（2）（1，
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（3）存在，（0，4
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【解答】
【点评】
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发布：2025/5/25 20:30:1组卷：592引用：2难度：0.3
相似题
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1．抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且OA=OB，与y轴交于点C．
（1）求证：b=0；
（2）点P是第二象限内抛物线上的一个动点，AP与y轴交于点D．连接BP，过点A作AQ∥BP，与抛物线交于点Q，且AQ与y轴交于点E．
①当a=-1时，求Q，P两点横坐标的差（用含有c的式子表示）；
②求的值．OD+OEOC发布：2025/5/26 1:0:1组卷：265引用：3难度：0.4 -
2．如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别为A（-2，-2）、B（1，1）．抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）交y轴于点C，顶点P在线段AB上运动，当顶点P与点A重合时，点C的坐标为（0，0），设点P的横坐标为m.
（1）求a的值．
（2）用含m的代数式表示点C的纵坐标，并求当m为何值时，点C的纵坐标最小，写出最小值．
（3）当点C在y轴的负半轴上且点C的纵坐标随m的增大而增大时，求m的取值范围．
（4）过点P作x轴的垂线交抛物线y=-2x2+于点Q，将线段PQ绕点P顺时针旋转90°得到线段PQ'，连结QQ'．当△PQQ'的边与坐标轴有四个公共点时，直接写出m的取值范围．12发布：2025/5/26 0:30:1组卷：275引用：1难度：0.2 -
3．如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（0，-1）和点B（5，4），P是直线AB下方抛物线上的一个动点，PC∥y轴与AB交于点C，PD⊥AB于点D，连接PA．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当△PCD的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PCD周长的最大值；
（3）当△PAC是等腰三角形时，请直接给出点P的坐标．发布：2025/5/26 1:0:1组卷：231引用：1难度：0.1
