已知双曲线C：x24-y212=1，直线l过C的右焦点F且与C交于M，N两点．
（1）若M，N两点均在双曲线C的右支上，求证：1|MF|+1|NF|为定值；
（2）试判断以MN为直径的圆是否过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
C
：
x
2
4
-
y
2
12
=
1
1
|
MF
|
+
1
|
NF
|
【考点】双曲线的定点及定值问题．
【答案】（1）证明：由F（4，0），设M（x1，y1），N（x2，y2），
直线MN：x=ty+4，代入 3x2-y2=12，
整理得：（3t2-1）y2+24y+36=0，由
，解得：，
由韦达定理：，，由，
同理，|NF|=2ty2+6，
∴=+=
===为定值．
（2）圆过定点（-2，0）．
直线MN：x=ty+4，代入 3x2-y2=12，
整理得：（3t2-1）y2+24y+36=0，由
Δ ＞ 0 |
y 1 y 2 ＜ 0 |
t
∈
（
-
3
3
，
3
3
）
由韦达定理：
y
1
+
y
2
=
-
24
t
3
t
2
-
1
y
1
y
2
=
36
3
t
2
-
1
|
MF
|
=
（
x
1
-
4
）
2
+
y
2
1
=
2
t
y
1
+
6
同理，|NF|=2ty2+6，
∴
1
|
MF
|
+
1
|
NF
|
1
2
t
y
1
+
6
1
2
t
y
2
+
6
2
t
（
y
1
+
y
2
）
+
12
4
t
2
y
1
y
2
+
12
t
（
y
1
+
y
2
）
+
36
=
-
48
t
2
3
t
2
-
1
+
12
144
t
2
3
t
2
-
1
+
-
288
t
2
3
t
2
-
1
+
36
-
12
t
2
-
12
-
36
t
2
-
36
1
3
（2）圆过定点（-2，0）．
【解答】
【点评】
声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。
发布：2024/4/20 14:35:0组卷：217引用：2难度：0.4
相似题
-
1．已知双曲线C：
=1（b＞0）一个焦点F到渐近线的距离为x22-y2b2．2
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点（2，0）的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得为定值？如果存在，求出点N的坐标及该定值；如果不存在，请说明理由．NA•NB发布：2024/8/15 2:0:1组卷：125引用：4难度：0.5 -
2．已知双曲线
过点x2a2-y2b2=1和点（3，52）．（4，15）
（1）求双曲线的离心率；
（2）过M（0，1）的直线与双曲线交于P，Q两点，过双曲线的右焦点F且与PQ平行的直线交双曲线于A，B两点，试问是否为定值？若是定值，求该定值；若不是定值，请说明理由．|MP|•|MQ||AB|发布：2024/9/24 8:0:9组卷：305引用：10难度：0.3 -
3．已知双曲线
的左、右焦点分别为F1，F2，斜率为-3的直线l与双曲线C交于A，B两点，点C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）在双曲线C上，且|MF1|•|MF2|=24．M（4，-22）
（1）求△MF1F2的面积；
（2）若（O为坐标原点），点N（3，1），记直线NA，NB'的斜率分别为k1，k2，问：k1•k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．OB+OB′=0发布：2024/9/15 3:0:8组卷：365引用：4难度：0.4
