设y=f（x）是定义域为R的函数，如果对任意的x1、x2∈R（x1≠x2），|f（x1）-f（x2）|＜|x1-x2|均成立，则称y=f（x）是“平缓函数”．
（1）若f1（x）=1x2+1，f2（x）=sinx，试判断y=f1（x）和y=f2（x）是否为“平缓函数”？并说明理由；（参考公式：x＞0时，sinx＜x恒成立）
（2）若函数y=f（x）是“平缓函数”，且y=f（x）是以1为周期的周期函数，证明：对任意的x1、x2∈R，均有|f（x1）-f（x2）|＜12；
（3）设y=g（x）为定义在R上函数，且存在正常数A＞1使得函数y=A•g（x）为“平缓函数”．现定义数列{xn}满足：x1=0，xn=g（xn-1）（n=2，3，4，⋯），试证明：对任意的正整数n,g（xn）≤A|g（0）|A-1．
f
1
（
x
）
=
1
x
2
+
1
，
f
2
（
x
）
=
sinx
|
f
（
x
1
）
-
f
（
x
2
）
|
＜
1
2
n
,
g
（
x
n
）
≤
A
|
g
（
0
）
|
A
-
1
【考点】函数与方程的综合运用．
【答案】（1）函数y=f2（x）也是R上的“平缓函数”，理由见解析；
（2）证明见解析；
（3）证明见解析．
（2）证明见解析；
（3）证明见解析．
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/28 8:51:19组卷：91引用：3难度：0.2
