已知函数f（x）=alnx+12x2-（a+1）x+32（a≠0）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当a=1时，若f（x1）+f（x2）=0，求证：x1+x2≥2；
（3）求证：对于任意n∈N*都有2ln（n+1）+n∑i=1（i-1i）2＞n．
f
（
x
）
=
alnx
+
1
2
x
2
-
（
a
+
1
）
x
+
3
2
（
a
≠
0
）
2
ln
（
n
+
1
）
+
n
∑
i
=
1
（
i
-
1
i
）
2
＞
n
【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间．
【答案】（1）当a＜0时，函数f（x）的单调递减为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）；
当0＜a＜1时，函数f（x）的单调递增区间为（0，a）和（1，+∞），单调递减区间为（a，1）；
当a=1时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无递减区间；
当a＞1时，函数f（x）的单调递减为（1，a），单调递增区间为（0，1）和（a，+∞）．
（2）证明见解答；
（3）证明见解答．
当0＜a＜1时，函数f（x）的单调递增区间为（0，a）和（1，+∞），单调递减区间为（a，1）；
当a=1时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无递减区间；
当a＞1时，函数f（x）的单调递减为（1，a），单调递增区间为（0，1）和（a，+∞）．
（2）证明见解答；
（3）证明见解答．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：673引用：12难度：0.1
