已知以动点P为圆心的⊙P与直线l：x=-12相切，与定圆⊙F：（x-1）2+y2=14相外切．
（Ⅰ）求动圆圆心P的轨迹方程C；
（Ⅱ）过曲线C上位于x轴两侧的点M、N（MN不与x轴垂直）分别作直线l的垂线，垂足记为M1、N1，直线l交x轴于点A，记△AMM1、△AMN、△ANN1的面积分别为S1、S2、S3，且S22=4S1S3，证明：直线MN过定点．
1
2
1
4
S
2
2
【答案】（Ⅰ）y2=4x；
（Ⅱ）证明：由题意可知，直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为：y=kx+m（k≠0），
设M（x1，y1），N（x2，y2），不妨设点M在x轴上方，点N在x轴下方，
联立方程
，消去y得，k2x2+（2km-4）x+m2=0，
∴，，
∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）==，
∵S1=，S3=，
∴4S1S3=-（y1y2）（x1）（）
=-×
=-×
=，
∵直线MN的方程为：y=kx+m，设直线MN与x轴的交点为点B，
令y=0得，x=-，∴B（-，0），
∴S2=，
∴=（-+）2（y1-y2）2
=××
=××[4（x2+x1）-2y1y2]
=××
=，
∵=4S1S3，
∴4k2-4k3m+16m2-16km3-16mk+16k2m2=-16km3-32km+16k2m2-4k3m，
∴4k2+16m2+16mk=0，
即k2+4m2+4km=0，
∴（k+2m）2=0，
∴k=-2m，
∴直线MN的方程为：y=-2mx+m=-2m（x-），
∴直线MN过定点（，0）．
（Ⅱ）证明：由题意可知，直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为：y=kx+m（k≠0），
设M（x1，y1），N（x2，y2），不妨设点M在x轴上方，点N在x轴下方，
联立方程
y = kx + m |
y 2 = 4 x |
∴
x
1
+
x
2
=
4
-
2
km
k
2
x
1
x
2
=
m
2
k
2
∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=
k
2
x
1
x
2
+
km
（
x
1
+
x
2
）
+
m
2
4
m
k
∵S1=
1
2
×
y
1
×
（
x
1
+
1
2
）
1
2
×
（
-
y
2
）
×
（
x
2
+
1
2
）
∴4S1S3=-（y1y2）（x1
+
1
2
x
2
+
1
2
=-
4
m
k
[
x
1
x
2
+
1
2
（
x
1
+
x
2
）
+
1
4
]
=-
4
m
k
4
m
2
+
8
-
4
km
+
k
2
4
k
2
=
-
16
m
3
-
32
m
+
16
k
m
2
-
4
m
k
2
4
k
3
∵直线MN的方程为：y=kx+m，设直线MN与x轴的交点为点B，
令y=0得，x=-
m
k
m
k
∴S2=
1
2
×
（
-
m
k
+
1
2
）
×
（
y
1
-
y
2
）
∴
S
2
2
1
4
m
k
1
2
=
1
4
k
2
+
4
m
2
-
4
mk
4
k
2
（
y
1
2
-
2
y
1
y
2
+
y
2
2
）
=
1
4
k
2
+
4
m
2
-
4
mk
4
k
2
=
1
4
k
2
+
4
m
2
-
4
mk
4
k
2
16
-
16
km
k
2
=
4
k
2
-
4
k
3
m
+
16
m
2
-
16
k
m
3
-
16
mk
+
16
k
2
m
2
4
k
4
∵
S
2
2
∴4k2-4k3m+16m2-16km3-16mk+16k2m2=-16km3-32km+16k2m2-4k3m，
∴4k2+16m2+16mk=0，
即k2+4m2+4km=0，
∴（k+2m）2=0，
∴k=-2m，
∴直线MN的方程为：y=-2mx+m=-2m（x-
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2
∴直线MN过定点（
1
2
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：281引用：4难度：0.5
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