已知动直线l与椭圆C：x2+y22=1交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两不同点，且△OPQ的面积S△OPQ=22，其中O为坐标原点．
（1）若动直线l垂直于x轴．求直线l的方程；
（2）证明：x21+x22和y21+y22均为定值；
（3）椭圆C上是否存在点D，E，G，使得三角形面积S△ODG=S△ODE=S△OEG=22？若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由．
y
2
2
2
2
x
2
1
x
2
2
y
2
1
y
2
2
2
2
【考点】直线与椭圆的综合．
【答案】（1）x=；
（2）证明：①当直线l的斜率不存在时，点P，Q两点关于x轴对称，所以x2=x1，y2=-y1，
因为点P（x1，y1）在椭圆上，因此 ①，
又因为S△OPQ=，所以 ②，
由①、②得：，|y1|=1，
此时+=1，+=2；
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=kx+m，依题意m≠0，
联立方程
，消去y得：（2+k2）x2+2kmx+m2-2=0，
∴Δ=4k2m2-4（2+k2）（m2-2）＞0，即2+k2＞m2 （*），
且x1+x2=，，
∴|PQ|==，
又∵原点O到直线l的距离为d=，
∴S△OPQ==×==，
整理得：2+k2=2m2，符合（*）式，
此时，=====1，
=2（1-）+2=4-2（）=2，
综上所述，+=1，+=2；
（3）不存在，理由如下：
椭圆C上不存在点D，E，G，使得三角形面积S△ODG=S△ODE=S△OEG=，
证明：假设存在D（u，v），E（u1，v1），G（u2，v2），满足S△ODG=S△ODE=S△OEG=，
由（1）得：，，，，，，
解得：，，
∴u，u1，u2 只能从中选取，v，v1，v2只能从±1中选取，
∴点D，E，G只能在这四个点中选取三个不同的点，而这三个点的两两连线中必有一条过原点，与S△ODG=S△ODE=S△OEG=矛盾，
∴椭圆C上不存在点D，E，G，使得三角形面积S△ODG=S△ODE=S△OEG=．
±
2
2
（2）证明：①当直线l的斜率不存在时，点P，Q两点关于x轴对称，所以x2=x1，y2=-y1，
因为点P（x1，y1）在椭圆上，因此
x
1
2
+
y
1
2
2
=
1
又因为S△OPQ=
2
2
|
x
1
|
•
|
y
1
|
=
2
2
由①、②得：
|
x
1
|
=
2
2
此时
x
2
1
x
2
2
y
2
1
y
2
2
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=kx+m，依题意m≠0，
联立方程
y = kx + m |
x 2 + y 2 2 = 1 |
∴Δ=4k2m2-4（2+k2）（m2-2）＞0，即2+k2＞m2 （*），
且x1+x2=
-
2
km
2
+
k
2
x
1
x
2
=
m
2
-
2
2
+
k
2
∴|PQ|=
1
+
k
2
•
（
x
1
+
x
2
）
2
-
4
x
1
x
2
1
+
k
2
•
2
2
•
2
+
k
2
-
m
2
2
+
k
2
又∵原点O到直线l的距离为d=
|
m
|
1
+
k
2
∴S△OPQ=
1
2
×
|
PQ
|
×
d
1
2
×
1
+
k
2
•
2
2
•
2
+
k
2
-
m
2
2
+
k
2
|
m
|
1
+
k
2
2
•
|
m
|
•
2
+
k
2
-
m
2
2
+
k
2
2
2
整理得：2+k2=2m2，符合（*）式，
此时，
x
1
2
+
x
2
2
（
x
1
+
x
2
）
2
-
2
x
1
x
2
（
-
2
km
2
+
k
2
）
2
-
2
×
m
2
-
2
2
+
k
2
k
2
m
2
-
m
2
-
2
m
2
k
2
-
m
2
+
2
m
2
y
1
2
+
y
2
2
x
2
1
（
1
-
x
2
2
）
x
1
2
+
x
2
2
综上所述，
x
2
1
x
2
2
y
2
1
y
2
2
（3）不存在，理由如下：
椭圆C上不存在点D，E，G，使得三角形面积S△ODG=S△ODE=S△OEG=
2
2
证明：假设存在D（u，v），E（u1，v1），G（u2，v2），满足S△ODG=S△ODE=S△OEG=
2
2
由（1）得：
u
2
+
u
1
2
=
1
u
2
+
u
2
2
=
1
u
1
2
+
u
2
2
=
1
v
2
+
v
1
2
=
2
v
2
+
v
2
2
=
2
v
1
2
+
v
2
2
=
2
解得：
u
2
=
u
1
2
=
u
2
2
=
1
2
v
2
=
v
1
2
=
v
2
2
=
1
∴u，u1，u2 只能从
±
2
2
∴点D，E，G只能在
（
±
2
2
，
±
1
）
2
2
∴椭圆C上不存在点D，E，G，使得三角形面积S△ODG=S△ODE=S△OEG=
2
2
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：247引用：2难度：0.5
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