已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），四点P1（1，1）、P2（0，1）、P3（-1，32）、P4（1，32）中恰有三点在椭圆C上．
（1）求C的方程；
（2）椭圆C上是否存在不同的两点M、N关于直线x+y=1对称？若存在，请求出直线MN的方程，若不存在，请说明理由；
（3）设直线l不经过点P2且与C相交于A、B两点，若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，求证：l过定点．
C
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
P
3
（
-
1
，
3
2
）
P
4
（
1
，
3
2
）
【考点】直线与椭圆的综合．
【答案】（1）椭圆C方程为+y2=1；
（2）存在，；
（3）证明：当直线l的斜率不存在时，设l：x=m，A（m，yA），B（m，-yA），
∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，+=+=+=1，
解得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足；
若直线l的斜率存在，设l：y=kx+b，联立椭圆x2+4y2=4，
可得（1+4k2）x2+8kbx+4b2-4=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=-，x1x2=，
，
直线l：y=kx+2k-1，即y=k（x+2）-1，
则直线l经过定点（-2，-1）．
x
2
4
（2）存在，
l
MN
：
y
=
x
-
5
3
（3）证明：当直线l的斜率不存在时，设l：x=m，A（m，yA），B（m，-yA），
∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，
k
P
2
A
k
P
2
B
y
A
-
1
x
A
y
B
-
1
x
B
y
A
-
1
m
-
y
A
-
1
m
解得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足；
若直线l的斜率存在，设l：y=kx+b，联立椭圆x2+4y2=4，
可得（1+4k2）x2+8kbx+4b2-4=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=-
8
kb
1
+
4
k
2
4
b
2
-
4
1
+
4
k
2
k
P
2
A
+
k
P
2
B
=
y
1
-
1
x
1
+
y
2
-
1
x
2
=
2
k
+
（
b
-
1
）
（
x
1
+
x
2
）
x
1
x
2
=
2
k
-
2
kb
b
+
1
=
1
⇒
b
=
2
k
-
1
直线l：y=kx+2k-1，即y=k（x+2）-1，
则直线l经过定点（-2，-1）．
【解答】
【点评】
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