已知抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点为F，A（2，y0）是E上一点，且|AF|=2．
（1）求E的方程；
（2）设点B是E上异于点A的一点，直线AB与直线y=x-3交于点P，过点P作x轴的垂线交E于点M，证明：直线BM过定点．
【考点】抛物线的焦点与准线．
【答案】（1）E的方程为x2=4y；
（2）证明：设B（x1，y1），M（x2，y2）．由题意，可设直线BM的方程为y=kx+b，代入x2=4y，得x2-4kx-4b=0．
由根与系数的关系．得x1+x2=4k，x1x2=-4b．③
由MP⊥x轴及点P在直线y=x-3上，得P（x2，x2-3），
则由A，P，B三点共线，得=，
整理，得（k-1）x1x2-（2k-4）x1+（b+1）x2-2b-6=0．
将③代入上式并整理，得（2-x1）（2k+b-3）=0．
由点B的任意性，得2k+b-3=0，所以y=kx+3-2k=k（x-2）+3．
即直线BM恒过定点（2，3）．
（2）证明：设B（x1，y1），M（x2，y2）．由题意，可设直线BM的方程为y=kx+b，代入x2=4y，得x2-4kx-4b=0．
由根与系数的关系．得x1+x2=4k，x1x2=-4b．③
由MP⊥x轴及点P在直线y=x-3上，得P（x2，x2-3），
则由A，P，B三点共线，得
x
2
-
4
x
2
-
2
k
x
1
+
b
-
1
x
1
-
2
整理，得（k-1）x1x2-（2k-4）x1+（b+1）x2-2b-6=0．
将③代入上式并整理，得（2-x1）（2k+b-3）=0．
由点B的任意性，得2k+b-3=0，所以y=kx+3-2k=k（x-2）+3．
即直线BM恒过定点（2，3）．
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：637引用：8难度：0.6
