如图，直线y=-12x+72图象交x轴于点A，交y轴于点C，点A，点C在抛物线y=ax2+bx+b-a的图象上．P点是线段OA上的一个动点，过点P作x轴的垂线l交抛物线和直线AC于点M，N两点．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）当△MCN恰好是以MN为斜边的直角三角形时，求此时点M的坐标；
（3）x轴上方的对称轴上有一动点E，平面上是否存在一点F，使以A、C、E、F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在（2）的条件下，将线段PA绕着点P逆时针旋转一定的角度α（0°＜α＜90°），得到线段PQ．试探究线段PM上是否存在一个定点D（不与P、M重合），无论PQ如何旋转，DQMQ的值始终保持不变．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
1
2
7
2
DQ
MQ
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）y=-x2+3x+；
（2）M（2，）；
（3）存在F点，坐标为（4，）或（10，）或（-4，）；
（4）不存在．
1
2
7
2
（2）M（2，
15
2
（3）存在F点，坐标为（4，
11
4
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2
7
+
181
2
（4）不存在．
【解答】
【点评】
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发布：2025/5/24 15:0:1组卷：101引用：1难度：0.2
相似题
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1．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A（1，0）和B（3，0），点D为线段BC上一动点，过点D作y轴的平行线交抛物线于点E，连结BE．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△COB和△DEB相似时，求点D的坐标；
（3）在抛物线上是否存在这样的点P，使得∠ACP=45°，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
发布：2025/5/24 18:30:1组卷：140引用：1难度：0.1 -
2．如图，半径为1的⊙O1与x轴交于A，B两点，圆心O1的坐标为（2，0），二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A，B两点，与y轴交于点C，顶点为M，直线BM与y轴交于点D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）经过坐标原点O的直线l与⊙O1相切，求直线l的解析式；
（3）试问在x轴上是否存在点P，使△PMD的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．发布：2025/5/24 18:30:1组卷：323引用：3难度：0.1 -
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点，点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，点M运动时间为t,试求S与t的函数关系，并求S的最大值；
（3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻t,使△MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．发布：2025/5/24 18:30:1组卷：4097引用：18难度：0.1
