已知函数f（x）=x³+ax+b,a,b∈R的图象记为曲线E．定义函数h（x）=f（x）+f′（x）．
（1）过点
A
（
1
2
，-
3
8
）
作曲线E的切线，若这样的切线有且仅有两条．
（i）求a+2b的值；
（ii）若点A在曲线E上，对任意的x∈[0，1]，求证：f（x）+|a+3b+1|+
1
2
≥
0
．
（2）若e^x≥f（x）-x³对x∈R恒成立，求ab的最大值．

【答案】（1）（i）

或

；
（ii）证明见解答；
（2）

e．

【解答】

【点评】

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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：227引用：2难度：0.2

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f
（
x
）
=
ln
2
+
x
2
-
x
+
1
，若关于x的不等式
f
（
k
e
x
）
+
f
（
-
1
2
x
）
＞
2
对任意x∈（0，2）恒成立，则实数k的取值范围（　　）
A．（
1
2
e
，+∞） B．（
1
2
e
，
2
e
2
） C．（
1
2
e
，
2
e
2
] D．（
2
e
2
，1]
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e
x
-
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2
1
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．
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