已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为22，上顶点为A，右顶点为 B．点P（23，0）在椭圆C内，且直线AP与直线2x-3y=0垂直．
（1）求C的方程；
（2）设过点P的直线交C于M，N两点，求证：以MN为直径的圆过点B．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
2
2
2
3
2
x
-
3
y
=
0
【答案】（1）；
（2）证明：由（1）知，B（2，0），
当直线MN的斜率为0时，线段MN即为椭圆C的长轴，M或N与B重合，
则以MN为直径的圆过点B，
当直线MN的斜率不为0时，设其方程为x=my+，
联立方程
，消去x得，
整理得，设M（x1，y1），N（x2，y2），
则，，
所以（x1-2）（x2-2）===，
所以=（x1-2）（x2-2）+y1y2=0，
所以BM⊥BN，即以MN为直径的圆过点B．
x
2
4
+
y
2
2
=
1
（2）证明：由（1）知，B（2，0），
当直线MN的斜率为0时，线段MN即为椭圆C的长轴，M或N与B重合，
则以MN为直径的圆过点B，
当直线MN的斜率不为0时，设其方程为x=my+
2
3
联立方程
x = my + 2 3 |
x 2 4 + y 2 2 = 1 |
（
my
+
2
3
）
2
4
+
y
2
2
=
1
整理得
（
m
2
+
2
）
y
2
+
4
m
3
y
-
32
9
=
0
则
y
1
+
y
2
=
-
4
m
3
（
m
2
+
2
）
y
1
y
2
=
-
32
9
（
m
2
+
2
）
所以（x1-2）（x2-2）=
（
m
y
1
-
4
3
）
（
m
y
2
-
4
3
）
m
2
y
1
y
2
-
4
m
3
（
y
1
+
y
2
）
+
16
9
32
9
（
m
2
+
2
）
所以
BM
•
BN
所以BM⊥BN，即以MN为直径的圆过点B．
【解答】
【点评】
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