过抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点F作斜率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1+k2=2．l1与E交于点A，B，l2与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l.
（Ⅰ）若k1＞0，k2＞0，证明：FM•FN＜2p2；
（Ⅱ）若点M到直线l的距离的最小值为755，求抛物线E的方程．
FM
•
FN
＜
2
p
2
7
5
5
【考点】直线与抛物线的综合；平面向量数量积的性质及其运算．
【答案】（I） 证明：由题意，抛物线E的焦点为，直线l1的方程为．
由
，得．
设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个实数根．
从而x1+x2=2pk1，．
所以点M的坐标为，．
同理可得点N的坐标为，．
于是．
由题设k1+k2=2，k1＞0，k2＞0，k1≠k2，所以0＜．
故．
（Ⅱ）x2=16y．
F
（
0
，
p
2
）
y
=
k
1
x
+
p
2
由
y = k 1 x + p 2 |
x 2 = 2 py |
x
2
-
2
p
k
1
x
-
p
2
=
0
设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个实数根．
从而x1+x2=2pk1，
y
1
+
y
2
=
k
1
（
x
1
+
x
2
）
+
p
=
2
p
k
1
2
+
p
所以点M的坐标为
（
p
k
1
，
p
k
1
2
+
p
2
）
FM
=
（
p
k
1
，
p
k
1
2
）
同理可得点N的坐标为
（
p
k
2
，
p
k
2
2
+
p
2
）
FN
=
（
p
k
2
，
p
k
2
2
）
于是
FM
•
FN
=
p
2
（
k
1
k
2
+
k
1
2
k
2
2
）
由题设k1+k2=2，k1＞0，k2＞0，k1≠k2，所以0＜
k
1
k
2
＜
（
k
1
+
k
2
2
）
2
=
1
故
FM
•
FN
＜
p
2
（
1
+
1
2
）
=
2
p
2
（Ⅱ）x2=16y．
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：1443引用：8难度：0.1
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