如图①，已知抛物线L：y=x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0）．过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，连结OE．
（1）求抛物线的关系式并写出点E的坐标；
（2）若动点P在x轴下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出此时P点横坐标；
（3）若将抛物线向上平移h个单位，且其顶点始终落在△OAE的内部或边上，写出h的取值范围；
（4）如图②，F是抛物线的对称轴上l的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）y=x2-4x+3；E（3，3）；
（2）P的横坐标为；
（3）3≤h≤4；
（4）存在，点P的坐标是：或或或．
（2）P的横坐标为
5
2
（3）3≤h≤4；
（4）存在，点P的坐标是：
（
5
-
5
2
，
1
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5
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（
3
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5
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5
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1
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）
（
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5
2
，
1
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（
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+
5
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，
5
+
1
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）
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：209引用：3难度：0.1
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1．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计喷水装置的高度？ 素材1 图1为某公园的圆形喷水池，图2是其示意图，O为水池中心，喷头A、B之间的距离为20米，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心7m处达到最高，高度为5m.水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其底面直径CD为12m,高CF为1.8米． 
素材2 如图3，拟在圆柱形蓄水池中心处建一喷水装置OP （OP⊥CD），并从点P向四周喷射与图2中形状相同的抛物线形水柱，且满足以下条件：
①水柱的最高点与点P的高度差为0.8m；
②不能碰到图2中的水柱；
③落水点G，M的间距满足：GM：FM=2：7．
问题解决 任务1 确定水柱形状 在图2中以点O为坐标原点，水平方向为x轴建立直角坐标系，并求左边这条抛物线的函数表达式． 任务2 探究落水点位置 在建立的坐标系中，求落水点G的坐标． 任务3 拟定喷水装置的高度 求出喷水装置OP的高度． 发布：2025/5/23 4:30:1组卷：756引用：3难度：0.3 -
2．已知抛物线y=ax2+bx 经过点A（2，0）与点（-1，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线y=kx+2与抛物线y=ax2+bx交于点M，N（点M，点N分别在第一、二象限）．
①如图1，连接OM，当∠OMN=45°时，求k的值；
②如图2，直线AN交y轴于点E，直线AM交y轴于点F，当时，求k的值．EF=57发布：2025/5/23 4:30:1组卷：298引用：1难度：0.2 -
3．已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（1，0）和B（-3，0），与y轴交于点C．
（1）求该二次函数的表达式．
（2）如图1，连接BC，动点D以每秒1个单位长度的速度由A向B运动，同时动点E以每秒个单位长度的速度由B向C运动，连接DE，当点E到达点C的位置时，D、E同时停止运动，设运动时间为t秒．当△BDE为直角三角形时，求t的值．2
（3）如图2，在抛物线对称轴上是否存在一点Q，使得点Q到x轴的距离与到直线AC的距离相等，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．发布：2025/5/23 4:0:1组卷：584引用：4难度：0.3
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