已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），A、B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0）．证明-a2-b2a＜x0＜a2-b2a．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
-
a
2
-
b
2
a
＜
x
0
＜
a
2
-
b
2
a
【考点】椭圆的几何特征．
【答案】设A、B的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2）．因线段AB的垂直平分线与x轴相交，故AB不平行于y轴，即x1≠x2．又交点为P（x0，0），故|PA|=|PB|，即
（x1-x0）2+=（x2-x0）2+①
∵A、B在椭圆上，
∴，．
将上式代入①，得
2（x2-x1）x0=②
∵x1≠x2，可得．③
∵-a≤x1≤a，-a≤x2≤a，且x1≠x2，
∴-2a＜x1+x2＜2a，
∴．
（x1-x0）2+
y
2
1
y
2
2
∵A、B在椭圆上，
∴
y
2
1
=
b
2
-
b
2
a
2
x
2
1
y
2
2
=
b
2
-
b
2
a
2
x
2
2
将上式代入①，得
2（x2-x1）x0=
（
x
2
2
-
x
2
1
）
a
2
-
b
2
a
2
∵x1≠x2，可得
x
0
=
x
1
+
x
2
2
•
a
2
-
b
2
a
2
∵-a≤x1≤a，-a≤x2≤a，且x1≠x2，
∴-2a＜x1+x2＜2a，
∴
-
a
2
-
b
2
a
＜
x
0
＜
a
2
-
b
2
a
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：632引用：5难度：0.5
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