给定椭圆C：

x

2

a

2

+

y

2

b

2

=1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为

a

2

+

b

2

的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为

F

（

2

，

0

）

，其短轴上的一个端点到F的距离为

3

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程和其“准圆”方程．
（Ⅱ）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线l₁，l₂，使得l₁，l₂与椭圆C都只有一个交点，且l₁，l₂分别交其“准圆”于点M，N．
①当P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求l₁，l₂的方程；
②求证：|MN|为定值．

【考点】直线与椭圆的综合．

【答案】（Ⅰ），x²+y²=4；
（Ⅱ）
①y=x+2，y=-x+2；
②证明：当l₁，l₂都有斜率时，设点P（x₀，y₀），其中+=4，
设经过点P（x₀，y₀）与椭圆只有一个公共点的直线为y=t（x-x₀）+y₀，
则，消去y得到x²+3（tx+（y₀-tx₀））²-3=0，
即（1+3t²）x²+6t（y₀-tx₀）x+3（y₀-tx₀）²-3=0，Δ=[6t（y₀-tx₀）]²-4•（1+3t²）[3（y₀-tx₀）²-3]=0，
经过化简得到：（3-）t²+2x₀y₀t+1-=0，
因为+=4，所以有（3-）t²+2x₀y₀t+（-3）=0，
设l₁，l₂的斜率分别为t₁，t₂，因为l₁，l₂与椭圆都只有一个公共点，
所以t₁，t₂满足上述方程（3-）t²+2x₀y₀t+（-3）=0，
所以t₁•t₂=-1，即l₁，l₂垂直．
综合①②知：因为l₁，l₂经过点P（x₀，y₀），又分别交其准圆于点M，N，且l₁，l₂垂直，
所以线段MN为准圆x²+y²=4的直径，所以|MN|=4．