如图1．矩形ABCD中，AD=4，AB=43，B为AE的中点．半径为4的⊙O与直线AB切于点E．M在折线A→D→C上运动（M不与A、C重合）将矩形沿直线BM向⊙O方向翻折．A点的对称点为A1．D点的对称点为D1．
（1）当点A1在边DC上时，求DA1的长；
（2）当A、C、A1在一条直线上时，判断直线BA1与⊙O的位置关系，并证明；
（3）若AA1与BC边交于点N，设DM=x,BN=y,求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（4）在翻折过程中，当线段BD1与⊙O有一个交点时，直接写出∠DBM的取值范围和在翻折过程中CD1的最小值．（sin29°=158，sin14.5°=14）
AB
=
4
3
sin
29
°=
15
8
sin
14
.
5
°=
1
4
【考点】圆的综合题．
【答案】（1）；
（2）BA1与⊙O相切，证明见解析过程；
（3），；
（4）∠DBM=45°或45.5°＜∠DBM≤60°；CD1的最小值为4．
4
3
-
4
2
（2）BA1与⊙O相切，证明见解析过程；
（3）
y
=
-
3
x
+
12
8
3
3
≤
x
＜
4
3
（4）∠DBM=45°或45.5°＜∠DBM≤60°；CD1的最小值为4．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：21引用：3难度：0.1
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1．[问题提出]
（1）如图1，已知线段AB=4，点C是一个动点，且点C到点B的距离为2，则线段AC长度的最大值是 ；
[问题探究]
（2）如图2，以正方形ABCD的边CD为直径作半圆O，E为半圆O上一动点，若正方形的边长为2，求AE长度的最大值；
[问题解决]
（3）如图3，某植物园有一块三角形花地ABC，经测量，AC=20米，BC=120米，∠ACB=30°，BC下方有一块空地（空地足够大），为了增加绿化面积，管理员计划在BC下方找一点P，将该花地扩建为四边形ABPC，扩建后沿AP修一条小路，以便游客观赏．考虑植物园的整体布局，扩建部分△BPC需满足∠BPC=60°．为容纳更多游客，要求小路AP的长度尽可能长，问修建的观赏小路AP的长度是否存在最大值？若存在，求出AP的最大长度；若不存在，请说明理由．3
发布：2025/5/23 10:30:1组卷：904引用：8难度：0.2 -
2．对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ，给出如下定义：若存在△PQR使得S△PQR=PQ2，则称△PQR为线段PQ的“等幂三角形”，点R称为线段PQ的“等幂点”．
（1）已知A（3，0）．
①在点P1（1，3），P2（2，6），P3（-5，1），P4（3，-6）中，是线段OA的“等幂点”的是；
②若存在等腰△OAB是线段OA的“等幂三角形”，求点B的坐标；
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3．问题研究．
如图1，AD是△ABC的中线，AH是BC边上的高．
（1）当AH=6，CD=5，DH=3时，AB=．
（2）求证：AB2+AC2=2AD2+2BD2．
问题解决
（3）某地为打造元宵节灯展景观，需按如下要求设计一批灯展造型．如图2，矩形ABCD是造型框架，以顶点A为圆心悬挂圆形灯架（⊙A），以B，C为顶点钉两个正方形展板（正方形BEHG和正方形CENM），接合点点E恰好在⊙A上．若AD=1.4m,AB=2.4m,⊙A的半径为0.7m,求两个正方形展板面积和的最小值．发布：2025/5/23 10:30:1组卷：128引用：3难度：0.1
