已知关于x的函数y=ax2+bx+c.
（1）若a=1，函数的图象经过点（1，-4）和点（2，1），求该函数的表达式和最小值；
（2）若a=1，b=-2，c=m+1时，函数的图象与x轴有交点，求m的取值范围．
（3）阅读下面材料：
设a＞0，函数图象与x轴有两个不同的交点A，B，若A，B两点均在原点左侧，探究系数a,b,c应满足的条件，根据函数图象，思考以下三个方面：
①因为函数的图象与x轴有两个不同的交点，所以Δ=b2-4ac＞0；
②因为A，B两点在原点左侧，所以x=0对应图象上的点在x轴上方，即c＞0；
③上述两个条件还不能确保A，B两点均在原点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴位置来进一步限制抛物线的位置：即需-b2a＜0．
综上所述，系数a,b,c应满足的条件可归纳为：
a＞0 Δ=b2-4ac＞0 c＞0 -b2a＜0
请根据上面阅读材料，类比解决下面问题：
若函数y=ax2-2x+3的图象在直线x=1的右侧与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围．
b
2
a
a ＞ 0 |
Δ = b 2 - 4 ac ＞ 0 |
c ＞ 0 |
- b 2 a ＜ 0 |
【考点】二次函数综合题．
【答案】见试题解答内容
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：1063引用：4难度：0.2
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1．已知：如图，抛物线y=-x2+bx+c经过原点O，它的对称轴为直线x=2，动点P从抛物线的顶点A出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向下运动，设动点P运动的时间为t秒，连接OP并延长交抛物线于点B，连接OA，AB．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）当三点A，O，B构成以为OB为斜边的直角三角形时，求t的值；
（3）将△PAB沿直线PB折叠后，那么点A的对称点A1能否恰好落在坐标轴上？若能，请直接写出所有满足条件的t的值；若不能，请说明理由．
发布：2025/5/24 20:0:2组卷：297引用：6难度：0.5 -
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-4（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C连接AC，BC，已知抛物线顶点D的坐标为（1，），点P为抛物线上一动点，设点P的横坐标m（其中0≤m≤4），PF⊥x轴于点F，交线段BC于点E，过点E作EG⊥BC，交y轴于点G，交抛物线的对称轴于点H．-92
（1）求抛物线的函数表达式及点A，B的坐标；
（2）求PE+EG的最大值；
（3）在坐标轴上是否存在点N，使得以点G、F、H、N为顶点，且GF和FH为邻边的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．发布：2025/5/24 20:0:2组卷：359引用：1难度：0.1 -
3．如图，抛物线y=-x2+bx+2与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接AC，BC．12
（1）若点A的坐标为（-1，0）．
①求抛物线的表达式；
②点P在第一象限的抛物线上运动，直线AP交BC于点F，过点P作x轴的垂线交BC于点H，当△PFH为以PF为腰的等腰三角形时，求点P的坐标．
（2）抛物线y=-x2+bx+2的顶点在某个y关于x的函数图象上运动，请直接写出该函数的解析式．12发布：2025/5/24 20:0:2组卷：204引用：3难度：0.4
