在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+2mx+3m,点A（3，0）．
（1）当抛物线过点A时，求抛物线的解析式；
（2）证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标；
（3）在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD与y轴交于点N．设S=S△PAM-S△BMN，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）y=-x2+2x+3；
（2）D（-，-）；
（3）P（1，4）．
（2）D（-
3
2
9
4
（3）P（1，4）．
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：2559引用：4难度：0.1
相似题
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1．如图1．抛物线
与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC，已知点B（4，0）．y=-34x2+bx+c
（1）若C（0，3），求抛物线的解析式．
（2）在（1）的条件下，P（-2，m）为该抛物线上一点，Q是x轴上一点求的最小值，并求此时点Q的坐标．PQ+35BQ
（3）如图2．过点A作BC的平行线，交y轴于点D，交抛物线于另一点E．若DE=7AD，求c的值．
发布：2025/5/26 0:30:1组卷：145引用：1难度：0.3 -
2．如图1，抛物线y=ax2-
x+c与x轴交于点A（-6，0）和B，与y轴交于点C（0，-8），点D是线段OC上一个动点，且不与点O，C重合，连接AD，在△BOC内部做矩形DEFG，其中点E在OB边上，点F，G在BC边上．13
（1）求抛物线y=ax2-x+c的函数表达式；13
（2）设OD=m,△ACD的面积为S1，矩形DEFG的面积为S2，n=，则n与m的函数表达式为 （写出自变量的取值范围）；S1S2
（3）在图2的平面直角坐标系中，点P在（2）中得出的函数图象上，作PM⊥m轴于点M，连接OP，当图1中DF=2时，图2中△POM与图1中△AOD相似，请直接写出此时图2中点P的坐标．10
发布：2025/5/26 0:30:1组卷：287引用：1难度：0.3 -
3．如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别为A（-2，-2）、B（1，1）．抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）交y轴于点C，顶点P在线段AB上运动，当顶点P与点A重合时，点C的坐标为（0，0），设点P的横坐标为m.
（1）求a的值．
（2）用含m的代数式表示点C的纵坐标，并求当m为何值时，点C的纵坐标最小，写出最小值．
（3）当点C在y轴的负半轴上且点C的纵坐标随m的增大而增大时，求m的取值范围．
（4）过点P作x轴的垂线交抛物线y=-2x2+于点Q，将线段PQ绕点P顺时针旋转90°得到线段PQ'，连结QQ'．当△PQQ'的边与坐标轴有四个公共点时，直接写出m的取值范围．12发布：2025/5/26 0:30:1组卷：275引用：1难度：0.2
