定义在R上的函数f（x）满足：若对任意的实数x≠y,有|f（x）-f（y）|＜|x-y|，则称f（x）为L函数．
（1）判断f（x）=x2+1和g（x）=1x2+1是否为L函数，并说明理由；
（2）当x∈[a,b]时，L函数f（x）的图像是一条连续的曲线，值域为G，且G⊆[a,b]，求证：关于x的方程f（x）=x在区间[a,b]上有且只有一个实数根；
（3）设f（x）为L函数，且f（3）=3，定义数列{an}（n∈N*）：a1=1，an+1=12（f（an）+an），证明：对任意n∈N*，有an＜an+1＜3．
g
（
x
）
=
1
x
2
+
1
a
n
+
1
=
1
2
（
f
（
a
n
）
+
a
n
）
【考点】抽象函数的值域．
【答案】（1）函数f（x）不是L函数；函数g（x）是L函数；
（2）（3）见解析．
（2）（3）见解析．
【解答】
【点评】
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