抛物线C：y2=2px（p＞0）上的点M（4，yM）到其准线的距离为5．
（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；
（Ⅱ）过点P（2，0）作直线l交抛物线C于A，B两点，Q是y轴上一点，且Q，A，B三点不共线），直线AQ与直线x=-2交于点N，判断直线PQ与BN的位置关系，并说明理由．
【考点】抛物线的焦点与准线．
【答案】（Ⅰ）y2=4x．
（Ⅱ）平行，
设直线l的方程为x=my+2，
联立方程，
消元得，y2-4my-8=0，Δ=16m2+32＞0恒成立．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由韦达定理可得，y1+y2=4m，y1y2=-8；
设Q（0，t），，直线AQ的方程为，
令x=-2，解得，
∴．kBN======，
又，显然PQ与AN不在同一条直线上，
故直线PQ与AN平行．
（Ⅱ）平行，
设直线l的方程为x=my+2，
联立方程，
y 2 = 4 x |
x = my + 2 . |
消元得，y2-4my-8=0，Δ=16m2+32＞0恒成立．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由韦达定理可得，y1+y2=4m，y1y2=-8；
设Q（0，t），
k
AQ
=
y
1
-
t
x
1
y
=
y
1
-
t
x
1
x
+
t
令x=-2，解得
y
=
（
2
+
x
1
）
t
-
2
y
1
x
1
∴
N
（
-
2
，
（
2
+
x
1
）
t
-
2
y
1
x
1
）
y
2
-
（
2
+
x
1
）
t
-
2
y
1
x
1
x
2
+
2
x
1
y
2
-
（
2
+
x
1
）
t
-
2
y
1
x
1
x
2
+
2
x
1
（
m
y
1
+
2
）
y
2
-
（
2
+
x
1
）
t
+
2
y
1
x
1
x
2
+
2
x
1
m
y
1
y
2
+
2
（
y
1
+
y
2
）
-
（
2
+
x
1
）
t
y
2
1
y
2
2
16
+
2
x
2
-
8
m
+
8
m
-
（
2
+
x
1
）
t
4
+
2
x
1
-
t
2
又
k
PQ
=
-
t
2
故直线PQ与AN平行．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：134引用：2难度：0.4
