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新冠肺炎，全民防控．冠状肺炎的感染主要是人与人之间进行传播，可以通过飞沫、粪便、接触等进行传染．冠状肺炎感染人群年龄大多是40岁以上的人群．该病毒进入人体后有潜伏期（潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时期），潜伏期越长，感染到他人的可能性越高．现对200个病例的潜伏期（单位：天）进行调查，统计发现潜伏期的中位数为5，平均数为7.1，方差为506．一般认为超过8天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，得到下面的2×2列联表：

长潜伏期非长潜伏期

40岁以上 30 110

40岁以上及40岁以下 20 40

（1）能否有95%的把握认为“长潜伏期”与年龄有关？
（2）假设潜伏期服从正态分布N（μ，σ²），其中μ近似为样本平均数，σ²近似为样本方差．
（ⅰ）很多省份对入境人员一律要求隔离14天，请用概率和统计的知识解释其合理性；
（ⅱ）将样本频率近似当作概率，设另随机抽取的25个病例中属于“长潜伏期”的病例个数是X，X=k（k∈N^，0≤k≤25）的概率记作P（X=k）（k∈N^，0≤k≤25），试求X的数学期望以及当P（X=k）取最大值时k的值．
附：
K
2
=
n
（
ad
-
bc
）
2
（
a
+
b
）
（
c
+
d
）
（
a
+
c
）
（
b
+
d
）
．

P（K²≥k） 0.100 0.050 0.010

k 2.706 3.841 6.635

若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ²），则P（μ-σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544，P（μ-3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，
5
.
06
≈
2
.
25
．

【答案】（1）没有95%的把握认为“长潜伏期”与年龄有关；
（2）（i）隔离14天是合理的．
（ii）X的数学期望是

，P（X=k）取最大值时k的值为6．

【解答】

【点评】

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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：120引用：3难度：0.6

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1．2021年是北京城市轨道交通新线开通的“大年”，开通线路的条、段数为历年最多.12月31日首班车起，地铁19号线一期开通试运营．地铁19号线一期全长约22公里，共设10座车站，此次开通牡丹园、积水潭、牛街、草桥、新发地、新宫共6座车站．在试运营期间，地铁公司随机选取了乘坐19号线一期的200名乘客，记录了他们的乘车情况，得到下表（单位：人）：

下车站
上车站牡丹园积水潭牛街草桥新发地新宫合计

牡丹园 /// 5 6 4 2 7 24

积水潭 12 /// 20 13 7 8 60

牛街 5 7 /// 3 8 1 24

草桥 13 9 9 /// 1 6 38

新发地 4 10 16 2 /// 3 35

新宫 2 5 5 4 3 /// 19

合计 36 36 56 26 21 25 200

（Ⅰ）在试运营期间，从在积水潭站上车的乘客中任选一人，估计该乘客在牛街站下车的概率；
（Ⅱ）在试运营期间，从在积水潭站上车的所有乘客中随机选取三人，设其中在牛街站下车的人数为X，求随机变量X的分布列以及数学期望；
（Ⅲ）为了研究各站客流量的相关情况，用ξ₁表示所有在积水潭站上下车的乘客的上、下车情况，“ξ₁=1”表示上车，“ξ₁=0”表示下车．相应地，用ξ₂，ξ₃分别表示在牛街，草桥站上、下车情况，直接写出方差Dξ₁，Dξ₂，Dξ₃大小关系．

发布：2024/12/29 12:30:1组卷：594引用：6难度：0.5

发布：2024/12/29 12:30:1组卷：11引用：2难度：0.6

测试成绩（单位：分）	[60，70）	[70，80）	[80，90）	[90，100）
等级	合格	中等	良好	优秀