如图，在平面直角坐标系中，知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），且点A的坐标为（3，0），连接BC，过点A作AD∥BC交y轴于点D，OB=3OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点E为射线AD上一点，点P为第二象限内抛物线上一动点，求四边形PBEC面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，将原抛物线沿x轴正方向平移得到新抛物线y'，y'经过点C，平移后点A的对应点为点A'，点N为线段AD的中点，点Q为新抛物线y'的对称轴上一点，在新抛物线上存在一点M，使以点M、Q、A'、N为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点M的坐标，并选择一个你喜欢的点写出求解过程．
（
3
，
0
）
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）y=-x2-x+3；（2）四边形PBEC面积的最大值为时，点P的坐标为（-，）；（3）点M的坐标为（，）或（-，-）或（，）．
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【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：367引用：2难度：0.2
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1．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A和C分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上，OA=8，OC=10．抛物线y=-
x2+bx+c与y轴交于点A，与BC边交于点D．将矩形OABC沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴上的点E处．14
（1）点E的坐标为 ，点D的坐标为 ；
（2）求抛物线的函数表达式；
（3）点F为抛物线上一动点（点F不与点A、D重合），设F点的横坐标为m.
①若点F在AD上方的抛物线上，连接AF、DF，设△ADF的面积为S，求S与m的函数关系式，并求S的最大值．
②该抛物线上是否存在一点F，使得直线EF恰好可以把△ADE分成面积之比为2：3的两部分？如果存在，请直接写出m的值；如果不存在，请说明理由．发布：2025/5/24 23:30:2组卷：168引用：1难度：0.4 -
2．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，P是CB边上一动点，连接AP，作PQ⊥AP交AB于Q．已知AC=3cm,BC=6cm,设PC的长度为x cm,BQ的长度为y cm.
小青同学根据学习函数的经验对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小青同学的探究过程，请补充完整：
（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y的几组对应值；
（说明：补全表格时，相关数据保留一位小数）x/cm 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6 y/cm 0 1.56 2.24 2.51 m 2.45 2.24 1.96 1.63 1.26 0.86 0
m的值约为 cm；
（2）在平面直角坐标系中，描出以补全后的表格中各组数值所对应的点（x,y），画出该函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：
①当y＞2时，对应的x的取值范围约是 ；
②若点P不与B，C两点重合，是否存在点P，使得BQ=BP？（填“存在”或“不存在”）发布：2025/5/24 23:0:1组卷：561引用：6难度：0.4 -
3．在平面直角坐标系中，将二次函数y=ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA=1，经过点A的一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．
（1）求抛物线和一次函数的解析式；
（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；
（3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE+PA的最小值．35
发布：2025/5/24 23:0:1组卷：6512引用：9难度：0.2
