已知斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C：x24+y2=1于M（x1，y1），N（x2，y2）两点．
（1）记直线OM，ON的斜率分别为k1，k2，当3（k1+k2）=8k时，证明：直线l过定点；
（2）若直线l过点D（1，0），设△OMD与△OND的面积比为t,当k2＜512时，求t的取值范围．
C
：
x
2
4
+
y
2
=
1
k
2
＜
5
12
【考点】与直线有关的动点轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合．
【答案】（1）证明：依题意可设直线l的方程为y=kx+n，其中k≠0．
代入椭圆方程得：（1+4k2）x2+8knx+4n2-4=0，
则有
．
则
=．
由条件3（k1+k2）=8k，有，而k≠0，则有，
从而直线l过定点或；
（2）2＜t＜3或．
代入椭圆方程得：（1+4k2）x2+8knx+4n2-4=0，
则有
x 1 + x 2 = - 8 kn 1 + 4 k 2 |
x 1 x 2 = 4 n 2 - 4 1 + 4 k 2 |
则
k
1
+
k
2
=
y
1
x
1
+
y
2
x
2
=
y
1
x
2
+
y
2
x
1
x
1
x
2
=
x
2
（
k
x
1
+
n
）
+
x
1
（
k
x
2
+
n
）
x
1
x
2
=
2
k
x
1
x
2
+
n
（
x
1
+
x
2
）
x
1
x
2
=
-
8
k
4
n
2
-
4
由条件3（k1+k2）=8k，有
-
24
k
4
n
2
-
4
=
8
k
n
=±
1
2
从而直线l过定点
（
0
，
1
2
）
（
0
，-
1
2
）
（2）2＜t＜3或
1
3
＜
t
＜
1
2
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：253引用：4难度：0.1
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