已知点F1、F2为双曲线C：x2-y2b2=1（b＞0）的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，且∠MF1F2=30°，圆O的方程是x2+y2=b2．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求PP1•PP2的值；
（3）过圆O上任意一点Q作圆O的切线l交双曲线C于A、B两点，AB中点为M，求证：|AB|=2|OM|．
C
：
x
2
-
y
2
b
2
=
1
P
P
1
•
P
P
2
【考点】直线与双曲线的综合．
【答案】（1）；
（2）；
（3）证明：由题意，即证：OA⊥OB．
设A（x1，y1），B（x2，y2），切线l的方程为：x0x+y0y=2…（11分）
①当y0≠0时，切线l的方程代入双曲线C中，化简得：
所以：，
又…（13分）
所以…（15分）
②当y0=0时，易知上述结论也成立．所以…（16分）
综上，OA⊥OB，所以．
x
2
-
y
2
2
=
1
（2）
2
9
（3）证明：由题意，即证：OA⊥OB．
设A（x1，y1），B（x2，y2），切线l的方程为：x0x+y0y=2…（11分）
①当y0≠0时，切线l的方程代入双曲线C中，化简得：
（
2
y
0
2
-
x
0
2
）
x
2
+
4
x
0
x
-
（
2
y
0
2
+
4
）
=
0
所以：
x
1
+
x
2
=
-
4
x
0
（
2
y
0
2
-
x
0
2
）
，
x
1
x
2
=
-
（
2
y
0
2
+
4
）
（
2
y
0
2
-
x
0
2
）
又
y
1
y
2
=
（
2
-
x
0
x
1
）
y
0
•
（
2
-
x
0
x
2
）
y
0
=
1
y
0
2
[
4
-
2
x
0
（
x
1
+
x
2
）
+
x
0
2
x
1
x
2
]
=
8
-
2
x
0
2
2
y
0
2
-
x
0
2
所以
OA
•
OB
=
x
1
x
2
+
y
1
y
2
=
-
（
2
y
0
2
+
4
）
（
2
y
0
2
-
x
0
2
）
+
8
-
2
x
0
2
2
y
0
2
-
x
0
2
=
4
-
2
（
x
0
2
+
y
0
2
）
2
y
0
2
-
x
0
2
=
0
②当y0=0时，易知上述结论也成立．所以
OA
•
OB
=
x
1
x
2
+
y
1
y
2
=
0
综上，OA⊥OB，所以
|
AB
|
=
2
|
OM
|
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：401引用：9难度：0.5
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