| 【问题】北师大版数学八年级下册P32第2题： 已知：如图1，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F． 求证：点F在∠DAE的平分线上． 【解答】某数学兴趣小组的小明同学提出了如下的解题方法： 如图2，过点F作FG⊥AD于点G，作FH⊥AE于点H，作FM⊥BC于点M，由角平分线 的性质定理可得：FG=FM，FH=FM． ∴FG=FH． ∴FG⊥AD，FH⊥AE， ∴F在∠DAE的平分线上． |
【探究】（1）小方在研究小明的解题过程时，还发现图2中BG、BC和CH三条线段存在一定的数量关系，请你直接写出它们的数量关系：
BG+CH=BC
BG+CH=BC
；（2）小明也发现∠BFC和∠GFH之间存在一定的数量关系．请你直接写出它们的数量关系：
∠BFC=∠GFH
1
2
∠BFC=∠GFH
；1
2
【应用】如图3，边长为3的正方形ABCD中，点E，F分别是边CD、BC上的点，且DE=1．连接AE，AF，EF，若∠EAF=45°，求BF的长；
【拓展】如图4，△ABC中，AB=AC=5，BC=4，△DEF中，∠EDF=∠B．将△DEF的顶点D放在BC边的中点处，边DF交线段AB于点G，边DE交线段AC于点H，连接GH．现将△DEF绕着点D旋转，在旋转过程中，△AGH的周长是否发生变化？若不变，求出△AGH的周长，若改变，请说明理由．
【考点】四边形综合题．
【答案】BG+CH=BC；∠BFC=∠GFH
1
2
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：1042引用：1难度：0.3
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1．已知：如图①，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=12cm,BD=16cm.点P从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s,EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PC、PE，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，点A在线段PE的垂直平分线上？
（2）设四边形PCFE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）如图②，连接PO、EO，是否存在某一时刻t,使∠POE=90°？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．发布：2025/5/22 21:0:1组卷：374引用：3难度：0.1 -
2．（1）问题：如图①，在Rt△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BD和线段CE的数量关系是 ，位置关系是 ．
（2）探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段BD，CD，DE之间满足的等量关系，并证明结论；
（3）应用：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，若BD=12，CD=4，求AD的长．
发布：2025/5/22 21:0:1组卷：348引用：2难度：0.2 -
3．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8cm,BC=6cm,AD=10cm,点P、Q分别是线段CD和AD上的动点．点P以2cm/s的速度从点D向点C运动，同时点Q以1cm/s的速度从点A向点D运动，当其中一点到达终点时，两点停止运动，将PQ沿AD翻折得到QP'，连接PP'交直线AD于点E，连接AC、BQ．设运动时间为t（s），回答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥AC？
（2）求四边形BCPQ的面积S（cm2）关于时间t（s）的函数关系式；
（3）是否存在某时刻t,使点Q在∠P'PD平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．发布：2025/5/22 21:0:1组卷：244引用：2难度：0.1
