如图，已知A（4，0），B（0，-2），连接AB，过B点作AB的垂线段BC，使BA=BC，连接AC．
（1）如图1，直接写出C点坐标；
（2）如图2，当点P在线段OA（不与A重合）上，连接BP，作等腰直角△BPQ，∠PBQ=90°，连接CQ，求证：PA=CQ；
（3）在（2）的条件下：
①若C、P、Q三点共线，直接写出此时∠APB的度数及P点坐标．
②直接写出△BPQ面积的最小值和此时CQ的长度．
【考点】三角形综合题．
【答案】（1）C（2，-6）；
（2）见解析；
（3）①135°，P（2，0）；②△BPQ面积的最小值2，CQ=4．
（2）见解析；
（3）①135°，P（2，0）；②△BPQ面积的最小值2，CQ=4．
【解答】
【点评】
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发布：2024/7/14 8:0:9组卷：99引用：2难度：0.3
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1．（1）操作发现：如图①，D是等边三角形ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边三角形DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．
（2）类比猜想：如图②，当动点D运动到等边三角形ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，是否有新的结论？如果有新的结论，直接写出新的结论，不需证明．
（3）深入探究：
①如图③，当动点D在等边三角形ABC的边BA上运动时（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在其上方、下方分别作等边三角形DCF和等边三角形DCF'，连接AF，BF'．探究AF，BF'与AB有何数量关系？直接写出你的结论，不需证明．
②如图④，当动点D在等边三角形ABC的边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，①中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，是否有新的结论？如果有新的结论，直接写出新的结论，不需证明．
发布：2025/6/23 21:0:1组卷：224引用：2难度：0.3 -
2．已知等腰直角△ABC的直角边AB=BC=10cm,点P，Q分别从A．C两点同时出发，均以1cm/s的相同速度做直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t,△PCQ的面积为S．
（1）求出S关于t的函数关系式．
（2）当点P在线段AB上时，点P运动几秒时，S△PCQ=S△ABC？14
（3）作PE⊥AC于点E，当点P．Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．发布：2025/6/23 23:0:10组卷：243引用：1难度：0.1 -
3．（1）如图1，∠MAN=90°，射线AD在这个角的内部，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，且AB=AC，CF⊥AD于点F，BE⊥AD于点E．求证：BE=AF
（2）如图2，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F都在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，且∠1=∠2=∠BAC．（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为15，求△ACF与△BDE的面积之和．
发布：2025/6/23 20:0:1组卷：434引用：3难度：0.1
