如图抛物线 y=-x2+bx+c 交x轴于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）过定点（1，3）的直线l：y=kx+b与二次函数的图象相交于M，N两点．
①若 S△PMN=2，求k的值；
②证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）该抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，顶点为P的坐标为（1，4）；
（2）①k=±2；
②见解析．
（2）①k=±2
3
②见解析．
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：184引用：1难度：0.2
相似题
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1．综合与探究
如图，抛物线y=-x2+29x+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．点M是y轴右侧抛物线上一动点，过点M作AC的平行线，交直线BC于点D，交x轴于点E．23
（1）请直接写出点A，B，C的坐标及直线BC的解析式；
（2）当DE=OE时，求点D的坐标；
（3）试探究在点M运动的过程中，是否存在以点A，C，E，M，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M的坐标，若不存在说明理由．
发布：2025/5/25 11:0:2组卷：142引用：1难度：0.1 -
2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+2mx-m2+m-2（m是常数）．
（1）求该抛物线的顶点坐标（用含m代数式表示）；
（2）如果该抛物线上有且只有两个点到直线y=1的距离为1，直接写出m的取值范围；
（3）如果点A（a,y1），B（a+2，y2）都在该抛物线上，当它的顶点在第四象限运动时，总有y1＞y2，求a的取值范围．发布：2025/5/25 11:0:2组卷：1486引用：7难度：0.4 -
3．如图1，抛物线y=ax2+5ax+c经过A（3，0），C（0，-4），点B在x轴上，且AC=BC，过点B作BD⊥x轴交抛物线于点D，点E，F分别是线段CO，BC上的动点，且CE=BF，连接EF．
（1）求抛物线的表达式及点D的坐标；
（2）当△CEF是直角三角形时，求点F的坐标；
（3）如图2，连接AE，AF，直接写出AE+AF的最小值为：.
发布：2025/5/25 11:30:2组卷：215引用：1难度：0.3
