如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=2，在平面内将线段AC绕点A顺时针旋转至线段AD的位置，E是BD的中点．
（1）如图1，若∠CAD=60°，求AE的长；
（2）如图2，若∠CAD=120°，猜想AE与BC的数量关系，并证明你猜想的结论；
（3）如图3，点B关于直线AC的对称点为F，在线段AC的旋转过程中，当EF的长取得最小值时，请直接写出△BCD的面积．
【考点】几何变换综合题．
【答案】（1）；
（2）BC=2AE，理由见解析；
（3）．
7
（2）BC=2AE，理由见解析；
（3）
3
【解答】
【点评】
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发布：2025/5/21 15:30:1组卷：359引用：1难度：0.3
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1．在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是线段BC上一点，E是线段BC延长线上一点，连接AD、AE．
（1）如图1，若∠ADB=105°，∠CAE=22.5°，BE=3，求AD的长度；
（2）如图2，过点E作EG⊥AD于点F，交AB于点G，取AD中点为M，过点A作AN∥BC交BM延长线于N，若AC平分∠DAE，证明：BG=AC-AN；22
（3）如图3，将点C绕点B逆时针旋转α度（0＜α＜360）得点P，连接AP、EP，当AP+PE取最小值时，直线EP与AD交于点Q，将点Q绕点D时针旋转度（0＜β＜360）得点Q′，连接AQ′、BQ′．若D是BE中点，tan∠ADC=5，BD=4．直接写出△ABQ′面积的最大值．2发布：2025/6/13 2:0:4组卷：526引用：1难度：0.1 -
2．在平面直角坐标系中，点A（a,0），
=0，且点A，C关于y轴对称．a2-1a-1
（1）若点B（0，-1），判定△ABC的形状；
（2）如图1，在（1）的条件下，D为△ABC内部一点，且∠DCA=∠DCB+∠DAC=30°，求证：AB=AD；
（3）如图2，若B（0，-），∠ABO=30°，E（-3，0），P为线段BE上一动点，以AP为边作等腰△APQ，且∠APQ=120°，当点P运动时，求△ABQ的面积．3
发布：2025/6/13 0:0:2组卷：79引用：1难度：0.1 -
3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：DE=AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问：DE、AD、BE具有怎样的等量关系？写出这个等量关系，并证明．
发布：2025/6/13 5:0:1组卷：378引用：7难度：0.4
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