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如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，且C为ˆAE的中点，AE交CD于点G，若AF=2，AE=8，动点M是⊙O上一点，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点P．
（1）求CF的长；
（2）连接OG，求证：OG⊥AC；
（3）当动点M在⊙O的圆周上运动时，FMPM的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律．
ˆ
AE
FM
PM
【考点】圆的综合题．
【答案】（1）4；
（2）证明见解析；
（3）的比值不变，比值为．
（2）证明见解析；
（3）
FM
PM
3
5
【解答】
【点评】
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发布：2025/5/22 9:30:1组卷：514引用：1难度：0.4
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1．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，M为⊙O上一点，点N（0，-2）．
对于点P给出如下定义：将点P绕点M顺时针旋转90°，得到点P′，点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．
（1）如图，已知点M（0，1），点P（4，0），点Q为点P的“对应点”．
①在图中画出点Q；
②求证：OQ=OM；2
（2）点P在x轴正半轴上，且OP=t（t＞1），点Q为点P的“对应点”，连接PQ，当点M在⊙O上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的积（用含t的式子表示）．发布：2025/5/22 15:0:2组卷：465引用：1难度：0.2 -
2．如图所示，△ABC的顶点A，B在⊙O上，顶点C在⊙O外，边AC与⊙O相交于点D，∠BAC=45°，连接OB、OD，已知OD∥BC．
（1）求证：直线BC是⊙O的切线；
（2）若线段OD与线段AB相交于点E，连接BD．
①求证：△ABD∽△DBE；
②若AB•BE=6，求⊙O的半径的长度．发布：2025/5/22 14:30:2组卷：1762引用：4难度：0.5 -
3．在平面直角坐标系xOy中，对于点P和直线y=1，给出如下定义：若点P在直线y=1上，且以点P为顶点的角是45°，则称点P为直线y=1的“关联点”．
（1）若在直线x=1上存在直线y=1的“关联点”P，则点P的坐标为 ；
（2）过点P（2，1）作两条射线，一条射线垂直于x轴，垂足为A；另一条射线交x轴于点B，若点P为直线y=1的“关联点”．求点B的坐标；
（3）以点O为圆心，1为半径作圆，若在⊙O上存在点N，使得∠OPN的顶点P为直线y=1的“关联点”．则点P的横坐标a的取值范围是 ．
发布：2025/5/22 15:30:1组卷：437引用：2难度：0.1
