双曲线C1：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=12x，其右焦点到该直线的距离等于5；点P是圆x2+y2=a2上的动点，作PD⊥x轴于D，且DM=32DP．
（1）求点M的轨迹C2的方程；
（2）设直线y=kx+m与轨迹C2相交于不同的两点A、B，是否存在过点N（0，-12）的直线l,使得点A、B关于l对称，如果存在，求实数m的取值范围；如果不存在，请说明理由．
C
1
：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
y
=
1
2
x
5
DM
3
2
DP
N
（
0
，-
1
2
）
【考点】双曲线相关动点轨迹．
【答案】（1）；
（2）直线存在．
由
，
消去y整理得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2-15）=0，
∴Δ=（8km）2-4（3+4k2）×4（m2-15）＞0，
整理得：20k2＞m2-15，①
令A（x1，y1），B（x2，y2），则
，
设AB的中点Q（x0，y0），则，，
①当k=0时，由题知，，
②当k≠0时，直线l的方程为，
由Q（x0，y0）在直线l上，得，
化简得2m=3+4k2，②
把②式代入①中，可得5（2m-3）＞m2-15，解得0＜m＜10，
又由②得2m-3=4k2＞0，解得，所以，
综上，当k=0时，；
当k≠0时，．
x
2
20
+
y
2
15
=
1
（2）直线存在．
由
y = kx + m |
3 x 2 + 4 y 2 - 60 = 0 |
消去y整理得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2-15）=0，
∴Δ=（8km）2-4（3+4k2）×4（m2-15）＞0，
整理得：20k2＞m2-15，①
令A（x1，y1），B（x2，y2），则
x 1 + x 2 = - 8 km 3 + 4 k 2 |
x 1 x 2 = 4 （ m 2 - 15 ） 3 + 4 k 2 |
设AB的中点Q（x0，y0），则
x
0
=
1
2
（
x
1
+
x
2
）
=
-
4
km
3
+
4
k
2
y
=
1
2
（
y
1
+
y
2
）
=
1
2
（
k
x
1
+
m
+
k
x
2
+
m
）
=
m
+
k
x
0
=
3
m
3
+
4
k
2
①当k=0时，由题知，
m
∈
（
-
15
，
15
）
②当k≠0时，直线l的方程为
y
+
1
2
=
-
1
k
x
由Q（x0，y0）在直线l上，得
3
m
3
+
4
k
2
+
1
2
=
4
m
3
+
4
k
2
化简得2m=3+4k2，②
把②式代入①中，可得5（2m-3）＞m2-15，解得0＜m＜10，
又由②得2m-3=4k2＞0，解得
m
＞
3
2
3
2
＜
m
＜
10
综上，当k=0时，
m
∈
（
-
15
，
15
）
当k≠0时，
m
∈
（
3
2
，
10
）
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：134引用：1难度：0.3
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