如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A（-4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）如图1，连接AC，BC，若点M是第二象限内抛物线上一点，过M作MN∥y轴，交AC于点N，过N作ND∥BC交x轴于点D，求MN-22ND的最大值及此时点M的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，当MN-22ND取最大值时，将抛物线y=ax2+bx+2沿射线AC方向平移35个单位，得到新抛物线y'，新抛物线与y轴交于点K，P为y轴右侧新抛物线上一点，过P作PQ∥y轴交射线MK于点Q，连接PK，当△PQK为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
MN
-
2
2
ND
MN
-
2
2
ND
3
5
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）y=-x2-x+2，
（2）MN-ND取最大值，M（-3，）；
（3）P的坐标为（7，）或（，）或（8，3）或（18，-37）．
1
4
1
2
（2）MN-
2
2
1
4
17
4
（3）P的坐标为（7，
17
4
53
6
227
144
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：590引用：3难度：0.1
相似题
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1．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C（0，3），DE所在的直线是该抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）连接AD，P是AD上的动点，P′是点P关于DE的对称点，连接PE，过点P′作P′F∥PE，交x轴于点F，设四边形PP′FE的面积为y,EF=x,求y与x之间的函数关系式．发布：2025/6/16 2:0:1组卷：231引用：2难度：0.3 -
2．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于原点O和点A，且其顶点B关于x轴的对称点坐标为（2，1）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线y=ax2+bx+c上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线y=-2的距离总相等．
①证明上述结论并求出点F的坐标；
②过点F的直线l与抛物线y=ax2+bx+c交于M，N两点．
证明：当直线l绕点F旋转时，+1MF是定值，并求出该定值；1NF
（3）点C（3，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQBC周长最小，直接写出P，Q的坐标．
发布：2025/6/16 5:0:1组卷：2172引用：5难度：0.4 -
3．如图，已知抛物线y=ax2+bx+5经过A（-5，0），B（-4，-3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接BD，CD．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）判断△BCD的形状，并说明理由；
（3）若点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，请直接写出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．发布：2025/6/16 5:30:3组卷：1379引用：2难度：0.1
