【问题解决】下面是华师版九年级上册数学教材第78页的一道例题．
如图①，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，CD、BE相交于点P．
求证：PEBE=PDCD=13．
证明：连结DE．
∵D、E分别是边AB、AC的中点，
请补全证明过程．
【结论应用】
（1）如图②，在【问题解决】的条件下，点F是线段CD的中点，则DPCF=2323．
（2）如图③，在△ABC中，AB=AC，AD为边BC的中线．点E、F分别为边AB、AC的中点，EF与AD交于点O，BF与AD交于点P．则S△POF：S四边形PDCF=1818．
（3）如图④，在▱ABCD中，点E、F分别为边AD、BC的中点，AC与EF交于点O．将四边形CDEF沿着EF翻折，得到四边形AGEF，点C恰好与点A重合，点D落到点G处，连结GF交AC于点P．点M是线段AC上一点，连结EM、DM．若CD=6，S△POF=2，直接写出EM+DM的最小值．
PE
BE
PD
CD
1
3
DP
CF
2
3
2
3
1
8
1
8
【考点】相似形综合题．
【答案】；
2
3
1
8
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：268引用：1难度：0.1
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1．数学课上，王老师出示问题：如图1，将边长为5的正方形纸片ABCD折叠，使顶点A落在边CD上的点P处（点P与C、D不重合），折痕为EF，折叠后AB边落在PQ的位置，PQ与BC交于点G．
（1）观察操作结果，在图1中找到一个与△DEP相似的三角形，并证明你的结论；
（2）当点P在边CD的什么位置时，△DEP与△CPG面积的比是9：25？请写出求解过程；
（3）将正方形换成正三角形，如图2，将边长为5的正三角形纸片ABC折叠，使顶点A落在边BC上的点P处（点P与B、C不重合），折痕为EF，当点P在边BC的什么位置时，△BEP与△CPF面积的比是9：25？请写出求解过程．
发布：2025/6/15 22:0:1组卷：1072引用：9难度：0.2 -
2．在△ABC中，CD是中线，E，F分别为BC，AC上的一点，连接EF交CD于点P．
（1）如图1，若F为AC的中点，CE=2BE，求的值；DFEC
（2）如图2，设=m,CEBC=n（n＜CFAC），若m+n=4mn,求证：PD=PC；12
（3）如图3，F为AC的中点，连接AE交CD于点Q，若QD=QP，直接写出的值．BEEC
发布：2025/6/15 15:0:1组卷：334引用：2难度：0.3 -
3．矩形ABCD中，AB=nAD（n＞1），点P为对角线AC上的一个动点（不与A、C两点重合），过点P作直线MN⊥AC，分别交射线AB、射线AD于点M、N．
（1）如图1，当点N与点D重合时，求的值（用含有n的代数式表示）．PMPD
（2）如图2，当点M为AB边的中点，且DP=DA时，求n的值．
（3）如图3，当n=2，移动点P，使得△APD与△BPC相似，则的值=．AMAD
发布：2025/6/15 15:0:1组卷：107引用：1难度：0.2
