过点M（1，0）的直线l与圆C：x2+（y-2）2=4交于A，B两点．N为圆C与y轴正半轴的交点．
（I）若|AB|=23，求直线l的方程：
（II）证明：直线AN，BN的斜率之和为定值．
3
【考点】直线与圆的位置关系．
【答案】（I）x=1或3x+4y-3=0；
（II）证明：由题设容易得到点N坐标（0，4），
设直线方程为y=k（x-1），联立圆的方程，可得关于x的一元二次方程：（k2+1）x2-（2k2+4k）x+（k2+4k）=0，
设点A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系（韦达定理）可得x1•x2=，；
AN的斜率KAN=，BN的斜率KBN=，
则KAN+KBN====2k-2k-4=-4．
所以AN与BN的斜率之和为定值，从而结论得证．
（II）证明：由题设容易得到点N坐标（0，4），
设直线方程为y=k（x-1），联立圆的方程，可得关于x的一元二次方程：（k2+1）x2-（2k2+4k）x+（k2+4k）=0，
设点A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系（韦达定理）可得x1•x2=
k
2
+
4
k
k
2
+
1
x
1
+
x
2
=
2
k
2
+
4
k
k
2
+
1
AN的斜率KAN=
y
1
-
4
x
1
=
k
（
x
1
-
1
）
-
4
x
1
=
k
x
1
-
（
k
+
4
）
x
1
y
2
-
4
x
2
=
k
（
x
2
-
1
）
-
4
x
2
=
k
x
2
-
（
k
+
4
）
x
2
则KAN+KBN=
k
x
1
-
（
k
+
4
）
x
1
+
k
x
2
-
（
k
+
4
）
x
2
2
k
x
1
x
2
-
（
k
+
4
）
（
x
1
+
x
2
）
x
1
x
2
2
k
-
（
k
+
4
）
•
2
k
2
+
4
k
k
2
+
1
k
2
+
4
k
k
2
+
1
所以AN与BN的斜率之和为定值，从而结论得证．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：281引用：4难度：0.3
