综合与探究：
如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA=2，OC=6，连接AC和BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；
（3）若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）y=x2-x-6；
（2）面积最大值为，E（）；
（3）存在；或或（2，0）或．
（2）面积最大值为
27
8
3
2
，-
21
4
（3）存在；
（
-
2
，
2
10
）
（
-
2
，-
2
10
）
（
-
2
，-
10
3
）
【解答】
【点评】
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发布：2025/5/22 3:0:1组卷：1364引用：12难度：0.4
相似题
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1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，连接BC．P是直线BC上方抛物线上一动点，连接PA，交BC于点D．其中BC=AB，tan∠ABC=．34
（1）求抛物线的解析式；
（2）求的最大值；PDDA
（3）若函数y=ax2+bx+3在（其中m-12≤x≤m+12）范围内的最大值为s,最小值为t,且m≤56≤s-t＜12，求m的取值范围．32发布：2025/5/24 6:0:2组卷：213引用：1难度：0.1 -
2．如图，已知抛物线l：y=-x2+2x+3与x轴交于点A，点B（A在B的左侧），与y轴交于点C．l'是l关于x轴对称的抛物线．
（1）求抛物线l'的解析式；
（2）抛物线l'与y轴交于点D，点P是抛物线l'的一个动点，过点P作x轴的垂线交BD所在的直线于点M．当以C，D，M，P为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．发布：2025/5/24 6:30:2组卷：406引用：1难度：0.3 -
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过点A（-1，0），B（
，0），直线y=x+52与抛物线交于C，D两点，点P是抛物线在第四象限内图象上的一个动点．过点P作PG⊥CD，垂足为G，PQ∥y轴，交x轴于点Q．12
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当PG+PQ取得最大值时，求点P的坐标和2PG+PQ的最大值；2
（3）将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，M为新抛物线对称轴上的一点，点N是平面内一点．当（2）中134PG+PQ最大时，直接写出所有使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标，并把求其中一个点N的坐标的过程写出来．2
发布：2025/5/24 5:0:1组卷：1766引用：4难度：0.3
