如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=3，D为△ABC内部的一动点（不在边上），连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转60°，使点B到达点F的位置；将线段AB绕点B顺时针旋转60°，使点A到达点E的位置，连接CD、AD、AF、AE、EF、BF．
（1）求证：△BDA≌△BFE；
（2）求CD+DF+FE的最小值；
（3）当CD+DF+FE取得最小值时．求证：AD∥BF；
（4）如图②，P，N，M分别是AE、AF、DF的中点，连接MP、NP，在点D运动的过程中，请判断∠MPN的大小是否为定值，若是，求出其度数；若不是，请说明理由．
3
【考点】三角形综合题．
【答案】（1）证明见解析部分；
（2）；
（3）证明见解析部分；
（4）结论：∠MPN的大小是为定值=30°．理由见解析部分．
（2）
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（3）证明见解析部分；
（4）结论：∠MPN的大小是为定值=30°．理由见解析部分．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：108引用：1难度：0.1
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1．如图，△ABC中，CA=CB、∠ACB=α，过点B作直线l∥AC，D为线段AB上一动点，连接CD，将射线DC绕点D顺时针旋转α，交直线l于点E．
（1）如图1，当α=90°时，线段CD和ED的数量关系是 ．
（2）如图2，当0°＜α＜180°时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）若α=120°，AC=，当△DEB为直角三角形时，请直接写出线段DE的长．3发布：2025/5/24 1:30:2组卷：55引用：1难度：0.1 -
2．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AB=9cm，动点P从点A开始以2cm/s的速度向点C运动，动点F从点B开始以1cm/s的速度向点A运动，两点同时运动，同时停止，运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，△PAF是等边三角形？
（2）当t为何值时，△PAF是直角三角形？
（3）过点P作PD⊥BC于点D，连接DF．
①求证：四边形AFDP是平行四边形；
②当t为何值时，△PDC的面积是△ABC面积的一半．发布：2025/5/24 1:0:1组卷：283引用：3难度：0.3 -
3．在一次数学兴趣小组活动中，小明将两个形状相同，大小不同的三角板AOB和三角板DEB放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），A（0，3），∠ABO=30°，BE=3．
（Ⅰ）如图①，求点D的坐标；
（Ⅱ）如图②，小明同学将三角板DEB绕点B按顺时针方向旋转一周．
①若点O，E，D在同一条直线上，求点D到x轴的距离；
②连接DO，取DO的中点G，在旋转过程中，点G到直线AB的距离的最大值是 （直接写出结果即可）．发布：2025/5/24 1:0:1组卷：573引用：2难度：0.3
