如图，点D是△ABC的外接圆⊙O上一点，且ˆAD=ˆBC=12ˆAmB，连接BD交AC于点E，
（1）求证AC=BD；
（2）若BD平分∠ABC，BC=1，求BD的长；
（3）已知圆心O在△ABC内部（不包括边上），⊙O的半径为5．
①若AB=8，求△ABC的面积；
②设BDBE=x,BC•AC=y,求y关于x的函数关系式，并求出y的取值范围．
ˆ
AD
ˆ
BC
1
2
ˆ
A
m
B
BD
BE
【考点】圆的综合题．
【答案】（1）见解析；
（2）；
（3）①；
②y=-25x2+75x，其中50．
（2）
5
+
1
2
（3）①
88
5
②y=-25x2+75x，其中50
＜
y
＜
225
4
【解答】
【点评】
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发布：2025/5/26 9:0:1组卷：285引用：1难度：0.3
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1．如图，H为△ABC的垂心，圆O为△ABC的外接圆．点E、F为以C为圆心、CH长为半径的圆与圆O的交点，D为线段EF的垂直平分线与圆O的交点．求证：
（1）AC垂直平分线段HE；
（2）DE=AB．发布：2025/5/26 12:0:1组卷：159引用：1难度：0.3 -
2．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点P为图形G上任意一点，将点P到原点O的最大距离与最小距离之差定义为图形G的“全距”，特别地，点P到原点O的最大距离与最小距离相等时，规定图形G的“全距”为0．
（1）如图，点A（-，1），B（3，1）．3
①原点O到线段AB上一点的最大距离为 ，最小距离为 ；
②当点C的坐标为（0，m）时，且△ABC的“全距”为1，求m的取值范围；
（2）已知OM=2，等边△DEF的三个顶点均在半径为1的⊙M上．请直接写出△DEF的“全距”d的取值范围．发布：2025/5/26 11:30:1组卷：776引用：3难度：0.2 -
3．如图，在五边形ABCDE中，∠BCD=∠EDC=90°，BC=ED，AC=CD=AD．
（1）求证：△ABC≌△AED；
（2）当∠B=140°时，求∠BAE的度数；
（3）如果△ABC的外心与△ACD的内心重合，请直接写出∠B的度数．发布：2025/5/26 11:30:1组卷：92引用：2难度：0.5
