已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=4，且a=2b.
（1）求C的方程；
（2）若A，B为C上的两个动点，过F2且垂直x轴的直线平分∠AF2B，证明：直线AB过定点．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
2
【答案】（1）+=1；
（2）证明：由题意可得直线AB的斜率存在，F2（2，0），
设直线AB的方程为y=kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），
由
可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0，
则Δ=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-8）=64k2-8m2+32＞0，
且x1+x2=-，x1x2=，
设直线F2A，F2B的倾斜角分别为α，β，
则α=π-β，k+k=+=0，代入y1=kx1+m，y2=kx2+m，
所以2kx1x2+（m-2k）x1x2-4m=0，
即有2k•+（2k-m）•-4m=0，
化简可得m=-4k，
则直线AB的方程为y=kx-4k=k（x-4），
故直线AB过定点（4，0）．
x
2
8
y
2
4
（2）证明：由题意可得直线AB的斜率存在，F2（2，0），
设直线AB的方程为y=kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），
由
y = kx + m |
x 2 + 2 y 2 = 8 |
则Δ=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-8）=64k2-8m2+32＞0，
且x1+x2=-
4
km
1
+
2
k
2
2
m
2
-
8
1
+
2
k
2
设直线F2A，F2B的倾斜角分别为α，β，
则α=π-β，k
F
2
A
F
2
B
y
1
x
1
-
2
y
2
x
2
-
2
所以2kx1x2+（m-2k）x1x2-4m=0，
即有2k•
2
m
2
-
8
1
+
2
k
2
4
km
1
+
2
k
2
化简可得m=-4k，
则直线AB的方程为y=kx-4k=k（x-4），
故直线AB过定点（4，0）．
【解答】
【点评】
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