【问题初探】：（1）如图①，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连接DE，DE∥BC，AD=2DB．若DE=4，则BC的长为 66；
【问题深入】：（2）如图②，在扇形OAB中，点C是ˆAB上一动点，连接AC，BC，∠AOB=120°，OA=2，求四边形OACB的面积的最大值；
【拓展应用】：（3）为进一步促进西安市文化和旅游高质量发展，推动全市文明旅游创建工作，结合2023年陕西省文明旅游示范单位申报工作，一并开展2023年西安市文明旅游示范单位评选工作．某地为参加评选积极改善环境，拟建一个四边形休闲广场ABCD，其大致示意图如图③所示，其中AD∥BC，BC=120米．点E处设立一个自动售货机，点E是BC的中点，连接AE，BD，AE与BD交于点M，连接CM，沿CM修建一条石子小路（宽度不计），将△MBE和△MDA进行绿化．根据设计要求，BM=2DM，tan∠CME=34．为倡导绿色新风尚，现要使绿化的面积尽可能的大，请问△MBE和△MDA的面积之和是否存在最大值？若存在，请求出△MBE和△MDA面积之和的最大值；若不存在，请说明理由．
ˆ
AB
BM
=
2
DM
，
tan
∠
CME
=
3
4
【考点】圆的综合题．
【答案】6
【解答】
【点评】
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发布：2025/5/22 10:0:1组卷：371引用：3难度：0.2
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1．如图，△ABC为等腰直角三角形，且∠B=90°，点D为线段AB上的动点，过点A作AE⊥AB，使得AE=AD，作△AED的外接圆交CE于点F，连结AC，分别交DE、DF于点M、N，连结CD．
（1）已知AB=5，BD=2，求 S△CED；
（2）求证：；NDCD=ANAC
（3）若，求ANNC=21．EFFC
发布：2025/5/22 12:30:1组卷：391引用：1难度：0.2 -
2．如图1，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，点O′与点O关于直线AC对称，射线AO′交半圆O于点D，弦AC交O′O于点E、交OD于点F．
（1）如图2，O′恰好落在半圆O上，求证：=ˆO′A；ˆBC
（2）如果∠DAB=30°，求的值：EFO′D
（3）如果OA=3，O'D=1，求OF的长．
发布：2025/5/22 12:30:1组卷：609引用：2难度：0.4 -
3．对于点P和图形G，若在图形G上存在不重合的点M和点N，使得点P关于线段MN中点的对称点在图形G上，则称点P是图形G的“中称点”．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），B（1，1），C（0，1）．
（1）在点P1（，0），P2（12，12），P3（1，-2），P4（-1，2）中，是正方形OABC的“中称点”；12
（2）⊙T的圆心在x轴上，半径为1．
①当圆心T与原点O重合时，若直线y=x+m上存在⊙T的“中称点”，求m的取值范围；
②若正方形OABC的“中称点”都是⊙T的“中称点”，直接写出圆心T的横坐标t的取值范围．发布：2025/5/22 13:0:1组卷：687引用：4难度：0.1
