已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为32，A（a,0），B（0，b），O（0，0），△OAB的面积为1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N．求证：|AN|•|BM|为定值．
x
2
a
2
y
2
b
2
3
2
【答案】（Ⅰ）+y2=1；
（Ⅱ）证法一：设椭圆上点P（x0，y0），
可得+4=4，
若P（0，-1），可得PA与y轴交于点M（0，-1），直线PB与x轴交于点N（0，0），
可得|AN|•|BM|=4；
直线PA：y=（x-2），令x=0，可得y=-，
则|BM|=|1+|；
直线PB：y=x+1，令y=0，可得x=-，
则|AN|=|2+|．
可得|AN|•|BM|=|2+|•|1+|
=||=||
=||=4，
即有|AN|•|BM|为定值4．
证法二：设P（2cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），
直线PA：y=（x-2），令x=0，可得y=-，
则|BM|=||；
直线PB：y=x+1，令y=0，可得x=-，
则|AN|=||．
即有|AN|•|BM|=||•||
=2||
=2||=4．
则|AN|•|BM|为定值4．
x
2
4
（Ⅱ）证法一：设椭圆上点P（x0，y0），
可得
x
2
0
y
2
0
若P（0，-1），可得PA与y轴交于点M（0，-1），直线PB与x轴交于点N（0，0），
可得|AN|•|BM|=4；
直线PA：y=
y
0
x
0
-
2
2
y
0
x
0
-
2
则|BM|=|1+
2
y
0
x
0
-
2
直线PB：y=
y
0
-
1
x
0
x
0
y
0
-
1
则|AN|=|2+
x
0
y
0
-
1
可得|AN|•|BM|=|2+
x
0
y
0
-
1
2
y
0
x
0
-
2
=|
（
x
0
+
2
y
0
-
2
）
2
（
x
0
-
2
）
（
y
0
-
1
）
x
0
2
+
4
y
0
2
+
4
+
4
x
0
y
0
-
4
x
0
-
8
y
0
2
+
x
0
y
0
-
x
0
-
2
y
0
=|
8
+
4
x
0
y
0
-
4
x
0
-
8
y
0
2
+
x
0
y
0
-
x
0
-
2
y
0
即有|AN|•|BM|为定值4．
证法二：设P（2cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），
直线PA：y=
sinθ
2
cosθ
-
2
sinθ
cosθ
-
1
则|BM|=|
sinθ
+
cosθ
-
1
1
-
cosθ
直线PB：y=
sinθ
-
1
2
cosθ
2
cosθ
sinθ
-
1
则|AN|=|
2
sinθ
+
2
cosθ
-
2
1
-
sinθ
即有|AN|•|BM|=|
2
sinθ
+
2
cosθ
-
2
1
-
sinθ
sinθ
+
cosθ
-
1
1
-
cosθ
=2|
si
n
2
θ
+
co
s
2
θ
+
1
+
2
sinθcosθ
-
2
sinθ
-
2
cosθ
1
+
sinθcosθ
-
sinθ
-
cosθ
=2|
2
+
2
sinθcosθ
-
2
sinθ
-
2
cosθ
1
+
sinθcosθ
-
sinθ
-
cosθ
则|AN|•|BM|为定值4．
【解答】
【点评】
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