在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦：sinh（x）=ex-e-x2，双曲余弦函数：cosh（x）=ex+e-x2，（e是自然对数的底数）．
（1）解方程：cosh（x）=2；
（2）写出双曲正弦与两角和的正弦公式类似的展开式：sinh（x+y）=_____，并证明；
（3）无穷数列{an}，a1=a,an+1=2a2n-1，是否存在实数a,使得a2021=54？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由．
sinh
（
x
）
=
e
x
-
e
-
x
2
cosh
（
x
）
=
e
x
+
e
-
x
2
a
n
+
1
=
2
a
2
n
-
1
a
2021
=
5
4
【考点】数学归纳法证明命题．
【答案】（1），（2）sinh（x+y）=sinh（x）cosh（y）+cosh（x）sinh（y），证明详见解析，（3）．
x
=
ln
（
2
±
3
）
a
=±
1
2
（
2
1
2020
+
2
-
1
2020
）
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：299引用：1难度：0.1
相似题
-
1．在数列{an}中，
．a1=1，an+1=2an2+an（n∈N*）
（Ⅰ）分别求出a2，a3，a4，并根据上述结果猜想这个数列的通项公式；
（Ⅱ）请用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想．发布：2024/12/28 23:30:2组卷：44引用：2难度：0.6 -
2．如图，P1（x1，y1），P2（x2，y2），⋯，Pn（xn，yn）（0＜y1＜y2＜⋯＜yn）是曲线C：y2=3x（y≥0）上的n个点，点Ai（ai，0）（i=1，2，3，⋯，n）在x轴的正半轴上，且△Ai-1AiPi是正三角形（A0是坐标原点）．
（1）求a1、a2、a3的值及数列{an}的递推公式；
（2）猜想点An（an，0）的横坐标an关于n的表达式，并用数学归纳法证明．发布：2024/7/13 8:0:9组卷：52引用：2难度：0.5 -
3．已知点Pn（an，bn） 满足an+1=anbn+1，bn+1=
，且点P1的坐标为（1，-1）．bn1-4a2n
（1）求过点P1、P2的直线l的方程；
（2）试用数学归纳法证明：对于任意n∈N，n≥1，点Pn都在（1）中的直线l上；
（3）试求数列{an}、{bn}的通项公式．发布：2024/8/15 5:0:1组卷：162引用：1难度：0.4
