在①离心率e=12，②椭圆C过点（1，32），③△PF1F2面积的最大值为3，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题．
设椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F，过F1且斜率为k的直线l交椭圆于P、Q两点，已知椭圆C的短轴长为23，_____．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若线段PQ的中垂线与x轴交于点N，求证：|PQ||NF1|为定值．
e
=
1
2
（
1
，
3
2
）
3
C
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
2
3
|
PQ
|
|
N
F
1
|
【答案】（1）+=1；
（2）证明：设直线l的方程为y=k（x+1），联立椭圆方程可得（3+4k2）x2+8k2x+4k2-12=0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），可得x1+x2=-，x1x2=，
可得|PQ|=•=•=，
设PQ的中点为H（t，s），可得t==-，s=，
由题意可得kHN==-，解得xN=-，
可得|NF1|=|-1+|=，
可得=4，即为定值．
x
2
4
y
2
3
（2）证明：设直线l的方程为y=k（x+1），联立椭圆方程可得（3+4k2）x2+8k2x+4k2-12=0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），可得x1+x2=-
8
k
2
3
+
4
k
2
4
k
2
-
12
3
+
4
k
2
可得|PQ|=
1
+
k
2
（
x
1
+
x
2
）
2
-
4
x
1
x
2
1
+
k
2
64
k
4
（
3
+
4
k
2
）
2
-
16
k
2
-
48
3
+
4
k
2
12
（
1
+
k
2
）
3
+
4
k
2
设PQ的中点为H（t，s），可得t=
x
1
+
x
2
2
4
k
2
3
+
4
k
2
3
k
3
+
4
k
2
由题意可得kHN=
3
k
3
+
4
k
2
-
4
k
2
3
+
4
k
2
-
x
N
1
k
k
2
3
+
4
k
2
可得|NF1|=|-1+
k
2
3
+
4
k
2
3
（
1
+
k
2
）
3
+
4
k
2
可得
|
PQ
|
|
N
F
1
|
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：254引用：8难度：0.5
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