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大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题:1+2+3+…+100=?经过研究,这个问题的一般性结论是1+2+3+…+n=
1
2
n(n+1),其中n是正整数.
问题提出:
在1~n(n≥2)这n个自然数中,每次取两个数,使得所取两数之和大于n,共有多少种取法?
问题解决:
我们研究数学问题时经常采用“特殊到一般”的解决问题的思想,因此我们首先取几个特殊值试试.
(1)在1~5这5个自然数中,每次取两个数,使得所取两数之和大于5,共有多少种取法?我们可以这样来研究:若最小的数取1,则另一个数只能取5,有一种取法;若最小的数取2,则另一个数可以取4、5,有两种取法;若最小的数取3,则另一个数可以取4、5,有两种取法;若最小的数取4,则另一个数只能取5,有一种取法;所以共有1+2+2+1=6种取法.
(2)在1~6这6个自然数中,每次取两个数,使得所取两数之和大于6,共有多少种取法?我们可以这样来研究:若最小的数取1,则另一个数只能取6,有一种取法;若最小的数取2,则另一个数可以取5、6,有两种取法;若最小的数取3,则另一个数可以取4、5、6,有三种取法;若最小的数取4,则另一个数可以取5、6,有两种取法;若最小的数取5,则另一个数只能取6,有一种取法;所以共有1+2+3+2+1=9种取法.
请继续探究并直接填写答案:
(3)在1~7这7个自然数中,每次取两个数,使得所取两数之和大于7,共有
12
12
种取法.
(4)在1~8这8个自然数中,每次取两个数,使得所取两数之和大于8,共有
16
16
种取法.

经过以上尝试,我们就可以找到问题的答案:
①当n为奇数时,在1~n(n≥2)这n个自然数中,每次取两个数,使得所取两数之和大于n,共有多少种取法?
根据前面的探究,我们可以列出算式1+2+3+…
n
-
1
2
+
n
-
1
2
+…+3+2+1,化简后,共有
n
2
-
1
4
n
2
-
1
4
种取法.
②当n为偶数时,在1~n(n≥2)这n个自然数中,每次取两个数,使得所取两数之和大于n,共有多少种取法?请你列出算式、化简并写出结论.
新知运用:
某次知识竞赛中,一共有20个小题,对应的分值为1~20分,某选手从中任选两题,得分高于20分的可能性共有
100
100
种.
问题拓展:
各边长都是整数,最大边长为12的三角形有多少个?请直接说出答案.

【答案】12;16;
n
2
-
1
4
;100
【解答】
【点评】
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