已知函数f（x）=lnx-ax（a∈R，e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）当
a
=
1
2
时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）-2x+1，若g（x）≤0在其定义域内恒成立，求实数a的最小值；
（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=x²恰有两个相异的实根x₁，x₂，求实数a的取值范围，并证明x₁x₂＞1．

【答案】（Ⅰ）极大值为ln2-1，无极小值；（Ⅱ）-1；（Ⅲ）（-∞，-1），证明过程见解答．

【解答】

【点评】

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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：482引用：3难度：0.4

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1．已知函数
f
（
x
）
=
ln
2
+
x
2
-
x
+
1
，若关于x的不等式
f
（
k
e
x
）
+
f
（
-
1
2
x
）
＞
2
对任意x∈（0，2）恒成立，则实数k的取值范围（　　）
A．（
1
2
e
，+∞） B．（
1
2
e
，
2
e
2
） C．（
1
2
e
，
2
e
2
] D．（
2
e
2
，1]
发布：2025/1/5 18:30:5组卷：299引用：2难度：0.4
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2．已知函数f（x）=ax³+x²+bx（a,b∈R）的图象在x=-1处的切线斜率为-1，且x=-2时，y=f（x）有极值．
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（2）求f（x）在[-3，2]上的最大值和最小值．
发布：2024/12/29 12:30:1组卷：48引用：4难度：0.5
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3．已知函数f（x）=
e
x
-
a
x
2
1
+
x
．
（1）若a=0，讨论f（x）的单调性．
（2）若f（x）有三个极值点x₁，x₂，x₃．
①求a的取值范围；
②求证：x₁+x₂+x₃＞-2．
发布：2024/12/29 13:0:1组卷：198引用：2难度：0.1
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1．已知函数f（x）=ln2+x2-x+1，若关于x的不等式f（kex）+f（-12x）＞2对任意x∈（0，2）恒成立，则实数k的取值范围（ ）