已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，过点F垂直于y轴的直线与抛物线C相交于A，B两点，抛物线C在A，B两点处的切线及直线AB所围成的三角形面积为16．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设P，M，N为抛物线上不同的三点，且PM⊥PN，求证：若P为定点，则直线MN过定点Q；并求当P点移动时，|PQ|的最小值．
【考点】直线与抛物线的综合．
【答案】（1）x2=8y；
（2）证明：设P（m，n），M（x1，y1），N（x2，y2），
可得n=，y1=，y2=，
由PM⊥PN可得•=-1，
化为（m+x1）•（m+x2）=-1，即有x1x2=-64-m2-m（x1+x2），
又直线MN的方程为y-y1=（x-x1），
即为y-y1=（x-x1），即有y-=•x-，
即为y=•x-x1x2，
可得y=•x+8++（x1+x2），
即y=（x+m）+8+，
令x=-m，可得y=8+，
即有直线MN恒过定点Q（-m，8+），
由|PQ|==≥8，
当m=0时，|PQ|取得最小值8．
（2）证明：设P（m，n），M（x1，y1），N（x2，y2），
可得n=
m
2
8
x
1
2
8
x
2
2
8
由PM⊥PN可得
n
-
y
1
m
-
x
1
n
-
y
2
m
-
x
2
化为
1
8
1
8
又直线MN的方程为y-y1=
y
2
-
y
1
x
2
-
x
1
即为y-y1=
x
1
+
x
2
8
x
1
2
8
x
1
+
x
2
8
x
1
2
+
x
1
x
2
8
即为y=
x
1
+
x
2
8
1
8
可得y=
x
1
+
x
2
8
m
2
8
m
8
即y=
x
1
+
x
2
8
m
2
8
令x=-m，可得y=8+
m
2
8
即有直线MN恒过定点Q（-m，8+
m
2
8
由|PQ|=
（
m
+
m
）
2
+
（
8
+
m
2
8
-
m
2
8
）
2
64
+
4
m
2
当m=0时，|PQ|取得最小值8．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：33引用：3难度：0.5
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