设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M在抛物线C上，O为坐标原点，已知|OM|=23，|MF|=3．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过焦点F作直线l交C于A，B两点，P为C上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别与C的准线相交于D，E两点，证明：以线段DE为直径的圆经过x轴上的两个定点．
3
【考点】抛物线的焦点弦及焦半径．
【答案】（1）y2=4x．
（2）证明：设直线l的方程为x=ty+1，代入y2=4x，得y2-4ty-4=0．
设点A（，y1），B（，y2），则y1+y2=4t，y1y2=-4．
设点P（，m），则
kPA==，
直线PA 的方程为y-m=（x-），
令x=-1，得y=m-（1+）=，
所以点D（-1，）．
同理，点E（-1，）．
设以线段DE为直径的圆与x轴的交点为N（a，0），
则=（a+1，-），=（a+1，-）．
因为DN⊥EN，则•=0，
即（a+1）2+•=0，
则（a+1）2=-•=-==4，
解得a=1或a=-3．
故以线段DE为直径的圆经过x轴上的两个定点（1，0）和（-3，0）．
（2）证明：设直线l的方程为x=ty+1，代入y2=4x，得y2-4ty-4=0．
设点A（
y
2
1
4
y
2
2
4
设点P（
m
2
4
kPA=
y
1
-
m
y
2
1
4
-
m
2
4
4
y
1
+
m
直线PA 的方程为y-m=
4
y
1
+
m
m
2
4
令x=-1，得y=m-
4
y
1
+
m
m
2
4
m
y
1
-
4
y
1
+
m
所以点D（-1，
m
y
1
-
4
y
1
+
m
同理，点E（-1，
m
y
2
-
4
y
2
+
m
设以线段DE为直径的圆与x轴的交点为N（a，0），
则
DN
m
y
1
-
4
y
1
+
m
EN
m
y
2
-
4
y
2
+
m
因为DN⊥EN，则
DN
EN
即（a+1）2+
m
y
1
-
4
y
1
+
m
m
y
2
-
4
y
2
+
m
则（a+1）2=-
m
y
1
-
4
y
1
+
m
m
y
2
-
4
y
2
+
m
m
2
y
1
y
2
-
4
m
（
y
1
+
y
2
）
+
16
y
1
y
2
+
m
（
y
1
+
y
2
）
+
m
2
4
m
2
+
16
mt
-
16
m
2
+
4
mt
-
4
解得a=1或a=-3．
故以线段DE为直径的圆经过x轴上的两个定点（1，0）和（-3，0）．
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：209引用：5难度：0.5
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