已知双曲线C中心为坐标原点，左焦点为（-25，0），离心率为5．
（1）求C的方程；
（2）记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点（-4，0）的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于P，证明P在定直线上．
5
5
【考点】由双曲线的焦点焦距求解双曲线方程或参数．
【答案】（1）；
（2）证明：过点（-4，0）的直线与C的左支交于M，N两点，
则可设直线MN的方程为x=my-4，M（x1，y1），N（x2，y2），
记C的左，右顶点分别为A1，A2，
则A1（-2，0），A2（2，0），
联立
，化简整理可得，（4m2-1）y2-32my+48=0，
故Δ=（-32m）2-4×48×（4m2-1）=256m2+192＞0且4m2-1≠0，
，，
直线MA1的方程为，直线NA2方程y=，
故==
=
=
=，
故，解得x=-1，
所以xP=-1，
故点P在定直线x=-1上运动．
x
2
4
-
y
2
16
=
1
（2）证明：过点（-4，0）的直线与C的左支交于M，N两点，
则可设直线MN的方程为x=my-4，M（x1，y1），N（x2，y2），
记C的左，右顶点分别为A1，A2，
则A1（-2，0），A2（2，0），
联立
x = my - 4 |
4 x 2 - y 2 = 16 |
故Δ=（-32m）2-4×48×（4m2-1）=256m2+192＞0且4m2-1≠0，
y
1
+
y
2
=
32
m
4
m
2
-
1
y
1
y
2
=
48
4
m
2
-
1
直线MA1的方程为
y
=
y
1
x
1
+
2
（
x
+
2
）
y
2
x
2
-
2
（
x
-
2
）
故
x
+
2
x
-
2
y
2
（
x
1
+
2
）
y
1
（
x
2
-
2
）
y
2
（
m
y
1
-
2
）
y
1
（
m
y
2
-
6
）
=
m
y
1
y
2
-
2
（
y
1
+
y
2
）
+
2
y
1
m
y
1
y
2
-
6
y
1
=
m
•
48
4
m
2
-
1
-
2
•
32
m
4
m
2
-
1
+
2
y
1
m
•
48
4
m
2
-
1
-
6
y
1
=
-
16
m
4
m
2
-
1
+
2
y
1
48
m
4
m
2
-
1
-
6
y
1
=
-
1
3
故
x
+
2
x
-
2
=
-
1
3
所以xP=-1，
故点P在定直线x=-1上运动．
【解答】
【点评】
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