问题背景：如图1，在四边形ADBC中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，探究线段AC、BC、CD之间的数量关系．
小亮同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点D逆时针旋转90°到△AED处．点B、C分别落在点A、E处（如图2），易证点C、A、E在同一条直线上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以CE=2CD，从而得出结论：AC+BC=2CD．
简单应用：
（1）在图1中，若AC=22，BC=42，则CD=66．
（2）如图3，AB是圆O的直径，点C、D在圆O上，弧AD等于弧BD，若AB=13，BC=12，求弦CD的长；
拓展延伸：
（3）如图4，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，若AC=m,BC=n（m＜n），求CD的长（用含m,n的代数式表示）．
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【考点】圆的综合题．
【答案】6
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：179引用：4难度：0.3
相似题
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1．问题探究
（1）在△ABC中，BD，CE分别是∠ABC与∠BCA的平分线．
①若∠A=60°，AB=AC，如图1，试证明BC=CD+BE；
②将①中的条件“AB=AC”去掉，其他条件不变，如图2，问①中的结论是否成立？并说明理由．
迁移运用
（2）若四边形ABCD是圆的内接四边形，且∠ACB=2∠ACD，∠CAD=2∠CAB，如图3，试探究线段AD，BC，AC之间的等量关系，并证明．
发布：2025/6/14 18:30:4组卷：1848引用：5难度：0.2 -
2．【数学概念】
有一条对角线平分一组对角的四边形叫“对分四边形”．
【概念理解】
（1）关于“对分四边形”，下列说法正确的是 ．（填所有正确的序号）
①菱形是“对分四边形”
②“对分四边形”至少有两组邻边相等
③“对分四边形”的对角线互相平分
【问题解决】
（2）如图①，PA为⊙O的切线，A为切点．在⊙O上是否存在点B、C，使以P、A、B、C为顶点的四边形是“对分四边形”？
请根据小明的作法补全图形，并证明四边形PACB是“对分四边形”．小明的作法：
①以P为圆心，PA长为半径作弧，与⊙O交于点B；
②连接PO并延长，交⊙O于点C；
③点B、C即为所求．
（3）如图②，已知线段AB和直线l,请在图②中利用无刻度的直尺和圆规，在直线l上作出点M、N，使以A、B、M、N为顶点的四边形是“对分四边形”．（只要作出一个即可，不写作法，保留作图痕迹）
（4）如图③，⊙O的半径为5，AB是⊙O的弦，AB=8，点C是⊙O上的动点，若存在四边形ABCD是“对分四边形”，且有一条边所在的直线是⊙O的切线，直接写出AC的长度．
发布：2025/6/14 20:30:2组卷：977引用：3难度：0.1 -
3．如图，⊙M经过O点，并且分别与 x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，线段OA，OB（OA＞OB）的长是方程 x2-17x+60=0的两根．
（1）求线段OA、OB的长；
（2）已知点C在⊙M的劣弧上，MC⊥OA，垂足为点N，求点C的坐标；ˆOA
（3）在（2）的条件下，连结BC交OA于D点，在⊙M上是否存在一点P，使△POD的面积和△ABD的面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由；
（4）若C在优弧OA上，作直线BC交x轴于点D．是否存在△COB∽△CDO？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．发布：2025/6/14 17:0:2组卷：43引用：1难度：0.2
