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“三等分角”是数学史上一个著名问题,数学家们证明只使用尺规无法三等分一个任意角,但对于特定度数的已知角,如90°角、45°角、108°角等可以用尺规三等分,如果作图工具没有限制,将条件放宽,将任意角三等分是可以解决的.
(1)用尺规三等分特殊角.
例题解读:如图1,∠AOB=90°,在边OB上取一点C,用尺规以OC为一边向∠AOB内部作等边△OCD,作射线OD,再用尺规作出∠DOB的平分线OE,则射线OD,OE将∠AOB三等分.

​问题1:如图2,∠MON=45°,请用尺规把∠MON三等分.(不需写作法,但需保留作图痕迹)
(2)折纸三等分任意锐角.
步骤一:在正方形纸片上折出任意∠SBC,将正方形ABCD对折,折痕记为MN,再将矩形MBCN对折,折痕记为EF,得到图3;
步骤二:翻折正方形纸片使点B的对应点T在EF上,点M的对应点P在SB上,点E对折后的对应点记为Q,折痕记为GH,得到图4;
步骤三:折出射线BQ,BT,得到图5,则射线BQ,BT就是∠SBC的三等分线.
下面是证明射线BQ,BT是∠SBC三等分线的部分过程.
证明:如图5,过点T作TK⊥BC,垂足为K,则四边形EBKT为矩形.
根据折叠的性质,得EB=QT,∠EBT=∠QTB,BT=TB.
∴△EBT≌△QTB(SAS).
∴∠BQT=∠TEB=90°.
∴BQ⊥PT.

问题2:①将剩余部分的证明过程补充完整;
②若将图3中的点S与点D重合,重复(2)中的操作过程得到图6,请利用图6计算tan15°的值,请直接写出结果.

【考点】四边形综合题
【答案】(1)图形见解答;
(2)①证明过程见解答;
②2-
3
【解答】
【点评】
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发布:2024/5/16 8:0:9组卷:84引用:1难度:0.5
相似题
  • 1.探究问题:
    (1)方法感悟:
    如图①,在正方形ABCD中,点E,F分别为DC,BC边上的点,且满足∠EAF=45°,连接EF,求证DE+BF=EF.
    感悟解题方法,并完成下列填空:
    证明:延长CB到G,使BG=DE,连接AG,
    ∵四边形ABCD为正方形,
    ∴AB=AD,∠ABC=∠D=90°,
    ∴∠ABG=∠D=90°,
    ∴△ADE≌△ABG.
    ∴AG=AE,∠1=∠2;
    ∵四边形ABCD为正方形,
    ∴∠BAD=90°,
    ∵∠EAF=45°,
    ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°.
    ∵∠1=∠2,
    ∴∠1+∠3=45°.
    即∠GAF=∠

    又AG=AE,AF=AF,
    ∴△GAF≌

    ∴FG=EF,
    ∵FG=FB+BG,
    又BG=DE,
    ∴DE+BF=EF.
    变化:在图①中,过点A作AM⊥EF于点M,请直接写出AM和AB的数量关系

    (2)方法迁移:

    如图②,将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC,E,F分别是BC,CD边上的点,∠EAF=
    1
    2
    ∠BAD,连接EF,过点A作AM⊥EF于点M,试猜想DF,BE,EF之间有何数量关系,并证明你的猜想.试猜想AM与AB之间的数量关系,并证明你的猜想.
    (3)问题拓展:
    如图③,在四边形ABCD中,AB=AD,E,F分别为DC,BC上的点,满足∠EAF=
    1
    2
    ∠DAB,试猜想当∠B与∠D满足什么关系时,可使得DE+BF=EF.请直接写出你的猜想(不必说明理由).猜想:∠B与∠D满足关系:

    发布:2025/6/24 19:0:1组卷:881引用:1难度:0.1
  • 2.已知△ABC是等边三角形,四边形ADEF是菱形,∠ADE=120°(AD>AB).

    (1)如图①,当AD与边BC相交,点D与点F在直线AC的两侧时,BD与CF的数量关系为
     

    (2)将图①中的菱形ADEF绕点A旋转α(0°<α<180°),如图②.
    Ⅰ.判断(1)中的结论是否仍然成立,请利用图②证明你的结论.
    Ⅱ.若AC=4,AD=6,当△ACE为直角三角形时,直接写出CE的长度.

    发布:2025/6/25 7:30:2组卷:365引用:4难度:0.1
  • 3.如图,四边形ABCD是正方形,E是正方形ABCD内一点,F是正方形ABCD外一点,连接BE、CE、DE、BF、CF、EF.
    (1)若∠EDC=∠FBC,ED=FB,试判断△ECF的形状,并说明理由.
    (2)在(1)的条件下,当BE:CE=1:2,∠BEC=135°时,求BE:BF的值.
    (3)在(2)的条件下,若正方形ABCD的边长为(3
    3
    +
    7
    )cm,∠EDC=30°,求△BCF的面积.

    发布:2025/6/24 17:30:1组卷:59引用:1难度:0.5
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