已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）过点（0，1），且椭圆的离心率e=32．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）直线l过点A（1，0）且与椭圆相交于C、D两点，椭圆的右顶点为B，试判断∠CBD是否能为直角．若能为直角，求出直线l的方程，若不行，请说明理由．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
3
2
【考点】椭圆的几何特征．
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）不能为直角，理由：
①当直线l垂直x轴时，易得C（1，），D（1，-）．
椭圆的右顶点为B（2，0），，），
≠0，∠CBD是不为直角．
②当直线l不垂直x轴时，可设直线y=k（x-1）代入椭圆方程，消去y可得：（1+4k2）x2-8k2x+4k2-4=0
设C（x1，y1），D（x2，y2），
则有x1+x2=，x1x2=，
又B（2，0）
=（x1-2，y1），=（x2-2，y2），
若∠CBD是否能为直角，
则（x1-2）（x2-2）+y1y2=（1+k2）x1x2-（k2+2））（x1+x2）+k2+4=-（k2+2）•+k2+4=0，
解得（1+k2）（4k2-4）-（k2+2）•8k2+（k2+4）（1+4k2）=0，
⇒k=0．不符合题意．
故∠CBD不能为直角．
x
2
4
+
y
2
=
1
（Ⅱ）不能为直角，理由：
①当直线l垂直x轴时，易得C（1，
3
2
3
2
椭圆的右顶点为B（2，0），
BC
=
（
-
1
，
3
2
）
BD
=
（
-
1
，-
3
2
BC
•
BD
=
1
-
3
4
②当直线l不垂直x轴时，可设直线y=k（x-1）代入椭圆方程，消去y可得：（1+4k2）x2-8k2x+4k2-4=0
设C（x1，y1），D（x2，y2），
则有x1+x2=
8
k
2
1
+
4
k
2
4
k
2
-
4
1
+
4
k
2
又B（2，0）
BC
BD
若∠CBD是否能为直角，
则（x1-2）（x2-2）+y1y2=（1+k2）x1x2-（k2+2））（x1+x2）+k2+4=
（
1
+
k
2
）
•
（
4
k
2
-
4
）
1
+
4
k
2
8
k
2
1
+
4
k
2
解得（1+k2）（4k2-4）-（k2+2）•8k2+（k2+4）（1+4k2）=0，
⇒k=0．不符合题意．
故∠CBD不能为直角．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：794引用：4难度：0.6
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